Numeri Razionali, Potenze, Radici e Proporzionalità

L'insieme dei numeri razionali (indicato con Q) comprende tutti i numeri che possono essere espressi come rapporto tra due numeri interi, con il denominatore diverso da zero. Fanno parte dei numeri razionali i numeri interi, le frazioni e i numeri decimali finiti o periodici.

Ogni frazione può essere trasformata in un numero decimale dividendo il numeratore per il denominatore. Si distinguono: numeri decimali limitati (o finiti), illimitati periodici semplici (quando il periodo inizia subito dopo la virgola) e illimitati periodici misti (quando c'è un antiperiodo tra la virgola e il periodo). Viceversa, ogni numero decimale (finito o periodico) può essere espresso come frazione generatrice.

La potenza è un'operazione che associa a due numeri, la base (a) e l'esponente (n), un terzo numero che si ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quante indicate dall'esponente. Se l'esponente è 0, la potenza è 1 (con base diversa da zero). Se l'esponente è 1, la potenza è uguale alla base.

Sono regole che semplificano il calcolo di espressioni con potenze: prodotto di potenze con la stessa base (si somma l'esponente), quoziente di potenze con la stessa base (si sottrae l'esponente), potenza di potenza (si moltiplicano gli esponenti), prodotto di potenze con lo stesso esponente (si moltiplicano le basi), quoziente di potenze con lo stesso esponente (si dividono le basi).

La radice quadrata di un numero 'a' (detto radicando) è quel numero 'b' (detto radice) che, elevato al quadrato, dà 'a'. Si indica con √a. La radice quadrata di un numero negativo non esiste nell'insieme dei numeri reali. Si considera solo il valore positivo della radice.

Il rapporto tra due numeri (o grandezze) è il loro quoziente. Può essere espresso come frazione o con il simbolo di divisione. Se le grandezze sono omogenee, il rapporto è un numero puro; se sono non omogenee, il rapporto è una nuova grandezza (es. velocità).

Una proporzione è l'uguaglianza di due rapporti. Si scrive a : b = c : d e si legge 'a sta a b come c sta a d'. I termini 'a' e 'd' sono detti estremi, mentre 'b' e 'c' sono detti medi.

In ogni proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante. Ciò significa che all'aumentare (o diminuire) di una, l'altra aumenta (o diminuisce) in modo proporzionale. Il grafico è una semiretta passante per l'origine.

Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. Ciò significa che all'aumentare di una, l'altra diminuisce in modo proporzionale. Il grafico è un ramo di iperbole.

Una percentuale è un rapporto espresso in centesimi. Si indica con il simbolo '%'. È un modo per esprimere una parte di un intero in relazione a 100.