Algebra & funzioni
Equazioni e Disequazioni di Secondo Grado e Sistemi
Liceo 3
- ✓Risolvere sistemi di equazioni in cui almeno una è di secondo grado.
- ✓Determinare l'insieme delle soluzioni di disequazioni di secondo grado.
- ✓Risolvere disequazioni fratte e di grado superiore al secondo.
- ✓Interpretare graficamente le soluzioni di disequazioni e sistemi.
- ✓Applicare il metodo della scomposizione in fattori per la risoluzione di disequazioni complesse.
Key concepts
Un'equazione di secondo grado è un'equazione polinomiale in cui il grado massimo dell'incognita è due. La sua forma normale è ax^2 + bx + c = 0, dove a, b, c sono coefficienti reali e a ≠ 0. La risoluzione dipende dal discriminante Δ = b^2 - 4ac.\n- Se Δ > 0, ci sono due soluzioni reali e distinte.\n- Se Δ = 0, ci sono due soluzioni reali e coincidenti.\n- Se Δ < 0, non ci sono soluzioni reali.
Un sistema di equazioni lineare-quadratica è composto da un'equazione di primo grado (lineare) e un'equazione di secondo grado (quadratica). Il metodo risolutivo più comune è quello per sostituzione: si esplicita una variabile dall'equazione lineare e la si sostituisce nell'equazione quadratica, ottenendo un'equazione di secondo grado in una sola variabile. Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di intersezione tra la retta (grafico dell'equazione lineare) e la parabola (grafico dell'equazione quadratica).
Una disequazione di secondo grado è una disuguaglianza in cui compare un polinomio di secondo grado (es. ax^2 + bx + c > 0). Per risolverla, si studia il segno del trinomio ax^2 + bx + c. Si considerano le radici dell'equazione associata ax^2 + bx + c = 0 e si interpreta il segno del trinomio in base alla concavità della parabola y = ax^2 + bx + c (determinata dal segno di a).\n- Se a > 0, la parabola ha concavità verso l'alto.\n- Se a < 0, la parabola ha concavità verso il basso.
Una disequazione fratta è una disuguaglianza in cui l'incognita compare al denominatore, nella forma N(x) / D(x) > 0 (o <, ≥, ≤). Per risolverla, si studia separatamente il segno del numeratore N(x) e del denominatore D(x). Si costruisce poi una tabella dei segni per determinare il segno complessivo della frazione. È fondamentale imporre la condizione D(x) ≠ 0.
Una disequazione di grado superiore al secondo (ad esempio, x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0) si risolve scomponendo il polinomio in fattori di primo o secondo grado (usando, ad esempio, il raccoglimento, Ruffini, prodotti notevoli). Una volta scomposto, si studia il segno di ciascun fattore e si utilizza una tabella dei segni per determinare il segno complessivo del prodotto, analogamente a quanto si fa per le disequazioni fratte.
Key facts to remember
- 1La formula risolutiva per ax^2 + bx + c = 0 è x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
- 2Il discriminante Δ = b^2 - 4ac determina il numero di soluzioni reali di un'equazione di secondo grado.
- 3Per risolvere una disequazione di secondo grado, si studia il segno della parabola associata y = ax^2 + bx + c.
- 4Per le disequazioni fratte e di grado superiore al secondo, è fondamentale costruire una tabella dei segni per determinare il segno complessivo.
- 5In una disequazione fratta N(x) / D(x), il denominatore D(x) non può mai essere zero.
- 6Un sistema lineare-quadratico può avere due soluzioni (retta secante), una soluzione (retta tangente) o nessuna soluzione (retta esterna).
Worked examples
Example 1
Risolvere il seguente sistema di equazioni:\n{ x - y = 1 \n{ x^2 + y^2 = 5
Answer
Le soluzioni del sistema sono (2, 1) e (-1, -2).
Geometricamente, la retta y = x - 1 interseca la circonferenza x^2 + y^2 = 5 in due punti distinti.
Example 2
Risolvere la disequazione: 2x^2 - 5x + 2 ≥ 0.
Answer
x ≤ 1/2 o x ≥ 2.
Si può rappresentare graficamente una parabola con vertice verso il basso e radici 1/2 e 2 per visualizzare la soluzione.
Example 3
Risolvere la disequazione fratta: (x - 3) / (x^2 - 4) < 0.
Answer
x < -2 o 2 < x < 3.
È cruciale indicare i punti in cui il denominatore si annulla con un cerchietto vuoto nella tabella o sulla retta dei numeri.
Example 4
Risolvere la disequazione: x^3 - 2x^2 - 3x ≥ 0.
Answer
-1 ≤ x ≤ 0 o x ≥ 3.
I punti in cui i fattori si annullano sono inclusi nella soluzione perché la disequazione è ≥ 0.
Common mistakes
- ✗Dimenticare di imporre la condizione D(x) ≠ 0 nelle disequazioni fratte.
- ✗Moltiplicare o dividere entrambi i membri di una disequazione per un'espressione contenente l'incognita senza studiarne il segno e invertire il verso della disuguaglianza se l'espressione è negativa.
- ✗Confondere le regole per il segno della parabola (a > 0 concavità verso l'alto, a < 0 concavità verso il basso) con il verso della disequazione.
- ✗Errori di calcolo nel discriminante o nell'applicazione della formula risolutiva.
- ✗Non considerare tutti i fattori o tutti gli intervalli nella tabella dei segni.
Exam tips
- ★Per le disequazioni di secondo grado, disegna sempre uno schizzo della parabola associata per visualizzare la soluzione.
- ★Organizza la tabella dei segni in modo chiaro e ordinato, indicando i segni di ogni fattore in ogni intervallo.
- ★Ricorda che se la disequazione è ≥ 0 o ≤ 0, le radici (punti in cui i fattori si annullano) sono incluse nella soluzione. Se è > 0 o < 0, non lo sono.
- ★Verifica sempre le soluzioni sostituendo alcuni valori negli intervalli trovati nella disequazione originale.
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