Géométrie & probabilités

Probabilités conditionnelles, Variables aléatoires et Loi binomiale

Terminale

✓Calculer et interpréter des probabilités conditionnelles, et utiliser la formule des probabilités totales.
✓Déterminer si deux événements sont indépendants.
✓Définir une variable aléatoire discrète, sa loi de probabilité, son espérance, sa variance et son écart-type.
✓Reconnaître une situation relevant d'un schéma de Bernoulli et appliquer la loi binomiale pour calculer des probabilités.
✓Calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

Key concepts

Probabilités conditionnelles

Soient A et B deux événements, avec P(B) ≠ 0. La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P_B(A) ou P(A|B), est la probabilité que l'événement A se réalise sachant que l'événement B est déjà réalisé. Elle est définie comme le rapport de la probabilité de l'intersection de A et B sur la probabilité de B.

P_B(A) = P(A \cap B) / P(B)

Formule des probabilités totales

Si (B_1, B_2, ..., B_n) est un système complet d'événements (c'est-à-dire que les événements sont deux à deux disjoints et leur union est l'univers Ω), alors pour tout événement A, la probabilité de A peut être calculée en sommant les probabilités des intersections de A avec chaque événement B_i.

P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + ... + P(A \cap B_n) = P_B1(A) \cdot P(B_1) + ... + P_Bn(A) \cdot P(B_n)

Indépendance d'événements

Deux événements A et B sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de réalisation de l'autre. Cela se traduit par une égalité entre la probabilité de l'intersection et le produit des probabilités individuelles.

A et B sont indépendants si et seulement si P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) (ce qui est équivalent à P_B(A) = P(A) si P(B) ≠ 0, ou P_A(B) = P(B) si P(A) ≠ 0).

Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. L'ensemble des valeurs que X peut prendre est fini ou dénombrable. La loi de probabilité de X est la donnée de toutes les valeurs x_i que X peut prendre et des probabilités associées P(X=x_i).

Espérance, Variance et Écart-type d'une variable aléatoire

L'espérance E(X) représente la valeur moyenne que l'on peut attendre de la variable aléatoire sur un grand nombre de répétitions. La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs de X autour de son espérance. L'écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance et s'exprime dans la même unité que X.

E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)\nV(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 P(X=x_i) = E(X^2) - (E(X))^2\n\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Loi binomiale B(n, p)

Une loi binomiale modélise le nombre de succès X obtenus lors de n répétitions indépendantes d'une même épreuve de Bernoulli, où chaque épreuve a deux issues possibles ('succès' ou 'échec') avec une probabilité p de succès. X suit une loi binomiale de paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). On note X ~ B(n, p).

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \text{ pour } k \in \{0, 1, ..., n\}\nE(X) = np\nV(X) = np(1-p)

Key facts to remember

1P(A \cap B) = P_B(A) \cdot P(B) = P_A(B) \cdot P(A).
2La formule des probabilités totales est essentielle pour calculer P(A) lorsque l'univers est partitionné.
3A et B sont indépendants si et seulement si P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).
4L'espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs prises par X par leurs probabilités.
5La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs de X autour de E(X). L'écart-type \sigma(X) est \sqrt{V(X)}.
6Une loi binomiale B(n, p) modélise le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes.
7La probabilité d'obtenir k succès dans une loi binomiale est P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.
8Pour une loi binomiale B(n, p), E(X) = np et V(X) = np(1-p).

Worked examples

Example 1

Dans une usine, 60% des employés sont des hommes. Parmi les hommes, 30% sont cadres. Parmi les femmes, 20% sont cadres. On choisit un employé au hasard. Quelle est la probabilité que cet employé soit un cadre ? Quelle est la probabilité que ce soit un homme sachant qu'il est cadre ?

IDéfinissons les événements : H = 'l'employé est un homme', F = 'l'employé est une femme', C = 'l'employé est cadre'.

IITraduisons les données en probabilités : P(H) = 0,60. Donc P(F) = 1 - P(H) = 0,40.

IIIProbabilités conditionnelles données : P_H(C) = 0,30 et P_F(C) = 0,20.

IVCalculons P(C \cap H) = P_H(C) \cdot P(H) = 0,30 \cdot 0,60 = 0,18.

VCalculons P(C \cap F) = P_F(C) \cdot P(F) = 0,20 \cdot 0,40 = 0,08.

VICalculons P(C) en utilisant la formule des probabilités totales (H et F forment un système complet d'événements) : P(C) = P(C \cap H) + P(C \cap F) = 0,18 + 0,08 = 0,26.

VIICalculons P_C(H) (probabilité que ce soit un homme sachant qu'il est cadre) : P_C(H) = P(H \cap C) / P(C) = 0,18 / 0,26.

Answer

La probabilité que l'employé choisi soit un cadre est P(C) = 0,26. La probabilité que ce soit un homme sachant qu'il est cadre est P_C(H) = 0,18 / 0,26 \approx 0,692 (arrondi à 10^-3 près).

Il est souvent utile de construire un arbre pondéré pour visualiser les probabilités et les chemins.

Example 2

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire simultanément 3 boules de l'urne. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance et son écart-type.

IL'univers est le nombre de façons de tirer 3 boules parmi 5 : \binom{5}{3} = 10.

IILes valeurs possibles pour X (nombre de boules rouges) sont 1, 2 ou 3 (on ne peut pas tirer 0 rouge car il y a 2 vertes et on tire 3 boules, donc au moins 1 rouge).

IIICalculons P(X=1) : Tirer 1 rouge parmi 3 et 2 vertes parmi 2. P(X=1) = (\binom{3}{1} \cdot \binom{2}{2}) / \binom{5}{3} = (3 \cdot 1) / 10 = 3/10.

IVCalculons P(X=2) : Tirer 2 rouges parmi 3 et 1 verte parmi 2. P(X=2) = (\binom{3}{2} \cdot \binom{2}{1}) / \binom{5}{3} = (3 \cdot 2) / 10 = 6/10.

VCalculons P(X=3) : Tirer 3 rouges parmi 3 et 0 verte parmi 2. P(X=3) = (\binom{3}{3} \cdot \binom{2}{0}) / \binom{5}{3} = (1 \cdot 1) / 10 = 1/10.

VIVérifions que la somme des probabilités est 1 : 3/10 + 6/10 + 1/10 = 10/10 = 1.

VIICalculons l'espérance E(X) = 1 \cdot (3/10) + 2 \cdot (6/10) + 3 \cdot (1/10) = 3/10 + 12/10 + 3/10 = 18/10 = 1,8.

VIIICalculons E(X^2) = 1^2 \cdot (3/10) + 2^2 \cdot (6/10) + 3^2 \cdot (1/10) = 1 \cdot (3/10) + 4 \cdot (6/10) + 9 \cdot (1/10) = 3/10 + 24/10 + 9/10 = 36/10 = 3,6.

9Calculons la variance V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3,6 - (1,8)^2 = 3,6 - 3,24 = 0,36.

10Calculons l'écart-type \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0,36} = 0,6.

Answer

La loi de probabilité de X est :\n| X=x_i | 1 | 2 | 3 |\n|-------|-----|-----|-----|\n| P(X=x_i) | 0,3 | 0,6 | 0,1 |\nL'espérance de X est E(X) = 1,8. L'écart-type de X est \sigma(X) = 0,6.

Pour des tirages simultanés, on utilise les combinaisons (\binom{n}{k}).

Example 3

Un joueur de basket-ball réussit un lancer franc avec une probabilité de 0,7. Il effectue 10 lancers francs, considérés comme indépendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de lancers francs réussis. Quelle est la loi de X ? Calculer la probabilité qu'il réussisse exactement 8 lancers. Calculer l'espérance et la variance de X.

IL'expérience est la répétition de 10 épreuves identiques et indépendantes (lancers francs).

IIChaque épreuve est une épreuve de Bernoulli : succès (lancer réussi) avec p = 0,7, échec (lancer manqué) avec 1-p = 0,3.

IIIX compte le nombre de succès sur n=10 répétitions. Donc X suit une loi binomiale B(10, 0,7).

IVCalculons P(X=8) en utilisant la formule de la loi binomiale : P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.

VP(X=8) = \binom{10}{8} (0,7)^8 (0,3)^{10-8} = \binom{10}{8} (0,7)^8 (0,3)^2.

VICalculons \binom{10}{8} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45.

VIIP(X=8) = 45 \cdot (0,7)^8 \cdot (0,3)^2 \approx 45 \cdot 0,057648 \cdot 0,09 \approx 0,23347.

VIIICalculons l'espérance E(X) = np = 10 \cdot 0,7 = 7.

9Calculons la variance V(X) = np(1-p) = 10 \cdot 0,7 \cdot 0,3 = 2,1.

Answer

La variable aléatoire X suit une loi binomiale B(10, 0,7). La probabilité qu'il réussisse exactement 8 lancers est P(X=8) \approx 0,233 (arrondi à 10^-3 près). L'espérance de X est E(X) = 7 et la variance de X est V(X) = 2,1.

Les calculatrices scientifiques (ou logiciels) peuvent calculer directement les probabilités binomiales P(X=k) et P(X \le k).

Common mistakes

✗Confondre P(A \cap B) et P_B(A). P(A \cap B) est la probabilité que A ET B se réalisent, tandis que P_B(A) est la probabilité que A se réalise SACHANT B.
✗Oublier que la formule des probabilités totales nécessite un système complet d'événements.
✗Confondre 'événements indépendants' avec 'événements incompatibles' (disjoints). Des événements incompatibles (A \cap B = \emptyset) ne sont indépendants que si P(A)=0 ou P(B)=0.
✗Ne pas vérifier les conditions d'application de la loi binomiale (n épreuves identiques, indépendantes, deux issues, probabilité de succès constante).
✗Erreur de calcul des coefficients binomiaux \binom{n}{k} ou des puissances dans la formule de la loi binomiale.

Exam tips

★Pour les probabilités conditionnelles, dessinez un arbre pondéré. Cela aide grandement à visualiser les chemins et à appliquer les formules.
★Lisez attentivement l'énoncé pour identifier les paramètres n et p d'une loi binomiale. C'est la première étape cruciale.
★Utilisez votre calculatrice pour les calculs de probabilités binomiales (P(X=k) et P(X \le k)) afin de gagner du temps et d'éviter les erreurs de calcul.
★Justifiez toujours l'utilisation d'une loi binomiale en citant les caractéristiques du schéma de Bernoulli.

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