Géométrie & probabilités
Géométrie et vecteurs : Vecteurs, Droites et Plans, Produit Scalaire
Première · Terminale
- ✓Définir et manipuler les vecteurs (somme, produit par un réel, colinéarité, norme).
- ✓Représenter et caractériser des droites et des plans par des équations vectorielles, paramétriques et cartésiennes.
- ✓Calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant ses différentes expressions.
- ✓Appliquer le produit scalaire pour déterminer l'orthogonalité, calculer des longueurs et des angles.
- ✓Résoudre des problèmes de géométrie analytique dans le plan et dans l'espace.
Key concepts
Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Il peut être représenté par un segment orienté. Dans un repère orthonormé, un vecteur u a pour coordonnées (x; y) en 2D ou (x; y; z) en 3D. Si A(x; y) et B(x; y), alors AB a pour coordonnées (x-x; y-y).
La norme (ou longueur) d'un vecteur u(x; y) est ||u|| = √(x²+y²). Pour un vecteur u(x; y; z) dans l'espace, sa norme est ||u|| = √(x²+y²+z²).
La somme de deux vecteurs u(x; y) et v(x'; y') est u + v = (x+x'; y+y'). Le produit d'un vecteur u(x; y) par un réel k est k · u = (kx; ky).
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k · u. En 2D, u(x; y) et v(x'; y') sont colinéaires si et seulement si xy' - yx' = 0 (déterminant nul). En 3D, leurs coordonnées doivent être proportionnelles.
Une droite passant par un point A et de vecteur directeur u peut être définie par une équation vectorielle AM = t · u (t ∈ ℝ). Ses équations paramétriques sont x = x + ta et y = y + tb (et z = z + tc en 3D). En 2D, une équation cartésienne est ax + by + c = 0, où n(a; b) est un vecteur normal à la droite.
Un plan passant par un point A et de vecteur normal n(a; b; c) a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. Un plan peut aussi être défini par un point A et deux vecteurs directeurs non colinéaires u et v, via des équations paramétriques: x = x + t a₁ + s a₂, y = y + t b₁ + s b₂, z = z + t c₁ + s c₂ (t, s ∈ ℝ).
Pour deux vecteurs u et v, le produit scalaire est u · v = ||u|| · ||v|| · cos(θ), où θ est l'angle non orienté entre u et v. Il peut aussi être interprété comme ||u|| · ||proju(v)|| (avec un signe selon l'orientation de la projection).
Dans un repère orthonormé :\n- En 2D, pour u(x; y) et v(x'; y'), u · v = xx' + yy'.\n- En 3D, pour u(x; y; z) et v(x'; y'; z'), u · v = xx' + yy' + zz'.
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u · v = 0.
L'angle θ entre deux vecteurs non nuls u et v peut être déterminé par la formule cos(θ) = (u · v) / (||u|| · ||v||).
Key facts to remember
- 1Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une norme.
- 2Deux vecteurs u(x; y) et v(x'; y') sont colinéaires si et seulement si xy' - yx' = 0.
- 3L'équation cartésienne d'une droite dans le plan est ax + by + c = 0, où n(a; b) est un vecteur normal.
- 4L'équation cartésienne d'un plan dans l'espace est ax + by + cz + d = 0, où n(a; b; c) est un vecteur normal.
- 5Le produit scalaire u · v peut être calculé par xx' + yy' (en 2D) ou xx' + yy' + zz' (en 3D) dans un repère orthonormé.
- 6Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
- 7L'angle θ entre deux vecteurs u et v est donné par cos(θ) = (u · v) / (||u|| · ||v||).
- 8Le carré scalaire d'un vecteur est égal au carré de sa norme : u² = ||u||².
Worked examples
Example 1
Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1; -2), B(3; 4), C(-1; 1) et D(0; 4).\n1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD.\n2. Calculer la norme de AB.\n3. Les vecteurs AB et CD sont-ils colinéaires ? Justifier.
Answer
1. AB(2; 6) et CD(1; 3).\n2. ||AB|| = 2√10.\n3. Oui, les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
La colinéarité signifie que les vecteurs ont la même direction. Les droites (AB) et (CD) sont donc parallèles.
Example 2
Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les vecteurs u(2; -1; 3) et v(-1; 2; 1).\n1. Calculer le produit scalaire u · v.\n2. Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux ? Justifier.\n3. Calculer une valeur approchée de l'angle θ entre u et v à 0,1 degré près.
Answer
1. u · v = -1.\n2. Non, les vecteurs u et v ne sont pas orthogonaux car leur produit scalaire n'est pas nul.\n3. L'angle θ entre u et v est d'environ 96,3°.
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode 'degrés' pour l'arccos.
Example 3
Dans un repère orthonormé de l'espace, déterminer une équation cartésienne du plan ℘ passant par le point A(1; 2; -1) et de vecteur normal n(3; -1; 2).
Answer
Une équation cartésienne du plan ℘ est 3x - y + 2z + 1 = 0.
Tout point M(x; y; z) appartenant au plan ℘ vérifie AM · n = 0.
Common mistakes
- ✗Confondre un vecteur directeur et un vecteur normal pour une droite ou un plan.
- ✗Oublier que le produit scalaire est un nombre réel (un scalaire), et non un vecteur.
- ✗Utiliser les formules analytiques du produit scalaire ou de la norme sans vérifier que le repère est orthonormé.
- ✗Faire des erreurs de signe lors du calcul des coordonnées de vecteurs ou du produit scalaire.
- ✗Ne pas vérifier que les vecteurs sont non nuls avant de calculer l'angle avec la formule du cosinus.
Exam tips
- ★Toujours vérifier si le repère est orthonormé avant d'appliquer les formules de norme ou de produit scalaire en coordonnées.
- ★Faire un schéma clair pour les problèmes de géométrie dans l'espace, cela aide à visualiser les positions relatives des points, droites et plans.
- ★Bien distinguer les différents types d'équations (vectorielle, paramétrique, cartésienne) et savoir passer de l'une à l'autre.
- ★Pour prouver l'orthogonalité de deux objets (droites, plans, vecteurs), le calcul du produit scalaire est souvent la méthode la plus rapide et la plus fiable.
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