Analyse

Fonctions et Analyse : Du Second Degré aux Intégrales

Seconde · Première · Terminale

✓Maîtriser les propriétés et la représentation graphique des fonctions du second degré.
✓Calculer des dérivées de fonctions usuelles et les utiliser pour étudier les variations d'une fonction.
✓Comprendre et appliquer les propriétés des fonctions exponentielle et logarithme népérien pour résoudre des équations et inéquations.
✓Calculer des primitives et des intégrales définies pour déterminer des aires.

Key concepts

Fonctions du second degré

Une fonction du second degré est une fonction polynomiale de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b, c sont des réels et a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole. Le discriminant Δ = b² - 4ac permet de déterminer le nombre de racines (zéros) : si Δ > 0, deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, une racine réelle double ; si Δ < 0, pas de racines réelles. Le sommet de la parabole a pour coordonnées (-b/(2a) ; f(-b/(2a))).

Δ = b² - 4ac ; x₁₂ = (-b ± √Δ)/(2a)

Dérivation

Le nombre dérivé f'(a) d'une fonction f en un point a est la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. La fonction dérivée f' associe à chaque x le nombre dérivé f'(x). Le signe de la dérivée f'(x) indique le sens de variation de la fonction f : si f'(x) > 0, f est croissante ; si f'(x) < 0, f est décroissante ; si f'(x) = 0 et que f' change de signe, f admet un extremum local.

(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ; (eˣ)' = eˣ ; (ln x)' = 1/x (pour x > 0) ; (u+v)' = u'+v' ; (uv)' = u'v+uv' ; (u/v)' = (u'v-uv')/v²

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp(x) ou eˣ, est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f'(x) = f(x) et f(0) = 1. Elle est strictement positive sur ℝ. Ses propriétés algébriques sont similaires à celles des puissances : eᵃ⁺ᵇ = eᵃeᵇ, eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ, (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ. Ses limites sont lim(x→+∞) eˣ = +∞ et lim(x→-∞) eˣ = 0.

eˣ > 0 ; (eˣ)' = eˣ

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur ]0 ; +∞[. Pour tout x > 0, e^(ln x) = x, et pour tout x réel, ln(eˣ) = x. Ses propriétés algébriques sont : ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a - ln b, ln(aⁿ) = n ln a. On a ln 1 = 0 et ln e = 1. Ses limites sont lim(x→+∞) ln x = +∞ et lim(x→0⁺) ln x = -∞.

ln(x) définie pour x > 0 ; (ln x)' = 1/x

Intégration

Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x de I. Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + C (où C est une constante réelle). L'intégrale définie de f entre a et b, notée ∫[de a à b] f(x) dx, est égale à F(b) - F(a). Elle représente l'aire algébrique entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b.

∫[de a à b] f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

Key facts to remember

1Le signe du coefficient 'a' d'une fonction du second degré détermine l'orientation de la parabole (a>0, branches vers le haut ; a<0, branches vers le bas).
2La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : (u+v)' = u'+v'.
3La fonction exponentielle eˣ est toujours positive et sa dérivée est elle-même : (eˣ)' = eˣ.
4La fonction logarithme népérien ln(x) est définie uniquement pour x > 0 et sa dérivée est (ln x)' = 1/x.
5L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle [a ; b] représente l'aire de la région située sous la courbe de la fonction, au-dessus de l'axe des abscisses, entre x=a et x=b.
6Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Worked examples

Example 1

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = -x² + 4x - 3.\n1. Déterminer les racines de f(x).\n2. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentative de f.\n3. Calculer la dérivée f'(x) et étudier le sens de variation de f.

I1. Pour trouver les racines, on résout f(x) = 0. On calcule le discriminant Δ = b² - 4ac avec a = -1, b = 4, c = -3. Δ = 4² - 4(-1)(-3) = 16 - 12 = 4.

IIPuisque Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes : x₁ = (-b - √Δ)/(2a) = (-4 - √4)/(2(-1)) = (-4 - 2)/(-2) = -6/(-2) = 3. Et x₂ = (-b + √Δ)/(2a) = (-4 + √4)/(2(-1)) = (-4 + 2)/(-2) = -2/(-2) = 1.

IIILes racines de f(x) sont x₁ = 3 et x₂ = 1.

IV2. Les coordonnées du sommet S(α ; β) sont données par α = -b/(2a) et β = f(α). α = -4/(2(-1)) = -4/(-2) = 2. β = f(2) = -(2)² + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1.

VLe sommet de la parabole est S(2 ; 1).

VI3. La dérivée de f(x) = -x² + 4x - 3 est f'(x) = -2x + 4. Pour étudier le sens de variation, on étudie le signe de f'(x). f'(x) = 0 pour -2x + 4 = 0, soit 2x = 4, donc x = 2.

VIISi x < 2, f'(x) > 0, donc f est strictement croissante sur ]-∞ ; 2[.

VIIISi x > 2, f'(x) < 0, donc f est strictement décroissante sur ]2 ; +∞[.

9La fonction f admet un maximum en x = 2, qui est f(2) = 1.

Answer

1. Les racines sont 1 et 3.\n2. Le sommet est S(2 ; 1).\n3. f'(x) = -2x + 4. f est croissante sur ]-∞ ; 2[ et décroissante sur ]2 ; +∞[.

Le sommet d'une parabole est toujours un extremum (maximum si a < 0, minimum si a > 0).

Example 2

Résoudre l'équation e^(2x-1) = 3 et l'inéquation ln(x+2) < 1.

IPour l'équation e^(2x-1) = 3 : On applique la fonction logarithme népérien (ln) aux deux membres, car ln et exp sont réciproques. ln(e^(2x-1)) = ln(3).

IICela donne 2x - 1 = ln(3). On isole x : 2x = 1 + ln(3), donc x = (1 + ln(3))/2.

IIIPour l'inéquation ln(x+2) < 1 : D'abord, on détermine le domaine de définition. Le logarithme n'est défini que pour des valeurs strictement positives, donc x+2 > 0, ce qui implique x > -2. Le domaine est ]-2 ; +∞[.

IVEnsuite, on utilise la fonction exponentielle, qui est strictement croissante, pour 'enlever' le ln. ln(x+2) < 1 est équivalent à e^(ln(x+2)) < e¹.

VCela donne x+2 < e. On isole x : x < e - 2.

VIEn combinant avec le domaine de définition (x > -2), la solution est l'intervalle ]-2 ; e - 2[.

Answer

L'équation e^(2x-1) = 3 a pour solution x = (1 + ln(3))/2.\nL'inéquation ln(x+2) < 1 a pour ensemble de solutions S = ]-2 ; e - 2[.

Toujours vérifier le domaine de définition pour les fonctions logarithmes avant de résoudre une équation ou inéquation.

Example 3

Calculer l'intégrale I = ∫[de 1 à 2] (3x² - 2x + 1) dx.

IOn cherche une primitive F(x) de la fonction f(x) = 3x² - 2x + 1. On utilise les règles de primitivation : une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹/(n+1).

IIUne primitive de 3x² est 3 * (x³/3) = x³.

IIIUne primitive de -2x est -2 * (x²/2) = -x².

IVUne primitive de 1 est x.

VDonc, une primitive de f(x) est F(x) = x³ - x² + x.

VIOn applique le théorème fondamental de l'analyse : I = [F(x)]_1^2 = F(2) - F(1).

VIIF(2) = (2)³ - (2)² + (2) = 8 - 4 + 2 = 6.

VIIIF(1) = (1)³ - (1)² + (1) = 1 - 1 + 1 = 1.

9I = F(2) - F(1) = 6 - 1 = 5.

Answer

L'intégrale I = ∫[de 1 à 2] (3x² - 2x + 1) dx = 5.

Pour vérifier une primitive, il suffit de la dériver : si F'(x) = f(x), la primitive est correcte.

Common mistakes

✗Oublier de vérifier le domaine de définition des fonctions logarithmes (x > 0).
✗Confondre les règles de dérivation du produit (uv)' = u'v + uv' et du quotient (u/v)' = (u'v - uv')/v².
✗Faire des erreurs de signe lors du calcul du discriminant ou des racines d'une fonction du second degré.
✗Oublier la constante d'intégration '+ C' lors du calcul d'une primitive (intégrale indéfinie).
✗Appliquer incorrectement les propriétés algébriques de l'exponentielle ou du logarithme (ex: ln(a+b) ≠ ln a + ln b).

Exam tips

★Pour les fonctions du second degré, toujours calculer le discriminant en premier pour connaître le nombre de racines.
★Lors de l'étude des variations d'une fonction, bien présenter le tableau de signes de la dérivée et en déduire les variations de la fonction.
★Pour les équations/inéquations avec exp ou ln, toujours commencer par déterminer le domaine de validité de l'expression.
★Lors du calcul d'une intégrale définie, bien identifier la primitive et évaluer F(b) - F(a) avec rigueur.

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