Nombres & calcul littéral
Nombres relatifs et calcul littéral
5e · 4e · 3e
- ✓Maîtriser les opérations sur les nombres relatifs et rationnels.
- ✓Développer et factoriser des expressions littérales.
- ✓Résoudre des équations du premier degré à une inconnue.
- ✓Utiliser le calcul littéral pour modéliser et résoudre des problèmes.
Key concepts
Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe (+ ou -). Il est composé d'un signe et d'une distance à zéro. Deux nombres relatifs sont opposés s'ils ont la même distance à zéro et des signes différents (ex: +5 et -5). Pour additionner ou soustraire des nombres relatifs, on applique les règles des signes. Pour multiplier ou diviser, le produit/quotient de deux nombres de même signe est positif, et le produit/quotient de deux nombres de signes différents est négatif.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction a/b, où a est un entier relatif et b est un entier relatif non nul. Les nombres décimaux sont des cas particuliers de nombres rationnels. Les opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur les nombres rationnels suivent les mêmes règles que celles sur les fractions.
Une expression littérale est une expression mathématique qui contient des lettres (appelées variables) en plus des nombres. Ces lettres représentent des nombres. Simplifier une expression littérale consiste à réduire les termes semblables (ex: 3x + 5x = 8x) et à regrouper les constantes.
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou une différence). On utilise la distributivité simple ou la double distributivité. La distributivité simple s'applique quand un facteur multiplie une somme ou une différence. La double distributivité s'applique quand le produit de deux sommes ou différences est calculé.
Factoriser une expression, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. On recherche un facteur commun à tous les termes de l'expression. Ce facteur commun peut être un nombre, une lettre ou une expression entière. On utilise la distributivité dans le sens inverse du développement.
Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent représentées par x). Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Pour cela, on effectue les mêmes opérations (addition, soustraction, multiplication, division par un nombre non nul) des deux côtés de l'égalité afin d'isoler l'inconnue.
Key facts to remember
- 1La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.
- 2Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le produit ou le quotient de deux nombres de signes différents est négatif.
- 3Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.
- 4La distributivité permet de transformer un produit en une somme (développement) et une somme en un produit (factorisation).
- 5Pour résoudre une équation, on effectue les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité pour isoler l'inconnue.
- 6Un facteur commun est indispensable pour factoriser une expression par la méthode de la distributivité.
Worked examples
Example 1
Calculer l'expression A = (-3,5) + 2/3 × (1 - 5/2).
Answer
A = -4,5
Respectez toujours la priorité des opérations : parenthèses, multiplications/divisions, additions/soustractions.
Example 2
Soit l'expression E = (2x - 3)(x + 4) - (x + 4)(5x - 1).\na) Développer et réduire E.\nb) Factoriser E.
Answer
a) E = -3x² - 14x - 8\nb) E = (x + 4)(-3x - 2)
Attention aux signes lors de la suppression des parenthèses précédées d'un signe moins.
Example 3
Résoudre l'équation : 3(x - 2) + 5 = 2x - 7.
Answer
La solution de l'équation est x = -6.
Pour vérifier, remplacez x par -6 dans l'équation initiale : 3(-6 - 2) + 5 = 3(-8) + 5 = -24 + 5 = -19. Et 2(-6) - 7 = -12 - 7 = -19. L'égalité est vérifiée.
Common mistakes
- ✗Erreurs de signe lors de l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division de nombres relatifs.
- ✗Oublier la priorité des opérations (parenthèses, multiplications/divisions, additions/soustractions).
- ✗Mauvaise application de la double distributivité (oublier un terme ou une multiplication).
- ✗Erreurs lors de la factorisation, notamment ne pas identifier correctement le facteur commun ou oublier un terme après la factorisation.
- ✗Ne pas effectuer la même opération des deux côtés de l'égalité lors de la résolution d'une équation, ou changer un signe en déplaçant un terme sans changer d'opération.
Exam tips
- ★Toujours vérifier les signes dans les calculs avec les nombres relatifs, surtout lors des soustractions et des multiplications.
- ★Simplifier les fractions avant d'effectuer les opérations complexes pour éviter les grands nombres et les erreurs.
- ★Lors du développement, utilisez des flèches ou des couleurs pour vous assurer que chaque terme est multiplié par chaque autre terme.
- ★Pour la factorisation, encadrez le facteur commun pour le visualiser clairement avant de le mettre en évidence.
- ★Après avoir résolu une équation, remplacez la valeur trouvée de l'inconnue dans l'équation de départ pour vérifier votre solution.
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