Nombres & calcul littéral
Fonctions linéaires, fonctions affines et proportionnalité
5e · 4e · 3e
- ✓Identifier une situation de proportionnalité et calculer un coefficient de proportionnalité.
- ✓Distinguer une fonction linéaire d'une fonction affine et reconnaître leurs formes algébriques.
- ✓Calculer l'image d'un nombre et l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire ou affine.
- ✓Représenter graphiquement une fonction linéaire ou affine dans un repère.
- ✓Interpréter les coefficients (coefficient directeur et ordonnée à l'origine) d'une fonction linéaire ou affine.
Key concepts
Une situation est dite de proportionnalité si les valeurs d'une grandeur s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre grandeur par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.\n\nUn tableau est un tableau de proportionnalité si les quotients des nombres de la deuxième ligne par ceux de la première ligne sont tous égaux.\n\nGraphiquement, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine du repère.
Une fonction linéaire est une fonction qui à tout nombre x associe le nombre ax, où 'a' est un nombre fixé non nul. On la note f: x → ax ou f(x) = ax.\n\nLe nombre 'a' est appelé le coefficient directeur de la fonction linéaire.\n\nUne fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère (0,0).
Une fonction affine est une fonction qui à tout nombre x associe le nombre ax + b, où 'a' et 'b' sont des nombres fixés. On la note f: x → ax + b ou f(x) = ax + b.\n\nLe nombre 'a' est le coefficient directeur de la fonction affine.\nLe nombre 'b' est l'ordonnée à l'origine (c'est la valeur de f(x) lorsque x = 0, et c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées).\n\nLa représentation graphique d'une fonction affine est une droite.\n\nCas particuliers :\n- Si b = 0, la fonction affine est une fonction linéaire (f(x) = ax).\n- Si a = 0, la fonction affine est une fonction constante (f(x) = b).
Key facts to remember
- 1Une situation de proportionnalité se traduit par un tableau de proportionnalité et une représentation graphique dont les points sont alignés avec l'origine.
- 2Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
- 3Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Sa représentation graphique est une droite.
- 4Le nombre 'a' est le coefficient directeur (ou la pente) de la droite. Il indique la direction de la droite.
- 5Le nombre 'b' est l'ordonnée à l'origine. C'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
- 6Toute fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (lorsque b = 0).
- 7Pour calculer l'image d'un nombre x par une fonction f, on remplace x dans l'expression de f(x).
- 8Pour calculer l'antécédent d'un nombre y par une fonction f, on résout l'équation f(x) = y.
Worked examples
Example 1
Un magasin vend des pommes à 2,50 € le kilogramme.\na) Est-ce une situation de proportionnalité ? Justifier.\nb) Combien coûtent 3,5 kg de pommes ?\nc) Quelle masse de pommes peut-on acheter avec 10 € ?
Answer
a) Oui, c'est une situation de proportionnalité. b) 3,5 kg de pommes coûtent 8,75 €. c) On peut acheter 4 kg de pommes avec 10 €.
Le coefficient de proportionnalité est le prix unitaire.
Example 2
Soit la fonction linéaire f définie par f(x) = -2x.\na) Calculer l'image de 3 et de -1,5 par la fonction f.\nb) Déterminer l'antécédent de 8 par la fonction f.\nc) Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal.
Answer
a) L'image de 3 est -6. L'image de -1,5 est 3. b) L'antécédent de 8 est -4. c) La représentation graphique est une droite passant par l'origine (0,0) et le point (3,-6).
Pour une fonction linéaire, un seul point (autre que l'origine) suffit pour tracer la droite.
Example 3
Soit la fonction affine g définie par g(x) = 3x - 5.\na) Calculer g(0) et g(2).\nb) Déterminer l'antécédent de 10 par la fonction g.\nc) Représenter graphiquement la fonction g dans un repère orthogonal.
Answer
a) g(0) = -5 et g(2) = 1. b) L'antécédent de 10 est 5. c) La représentation graphique est une droite passant par les points (0,-5) et (2,1).
L'ordonnée à l'origine 'b' est la valeur de g(0), ce qui donne un point facile à placer sur l'axe des ordonnées.
Common mistakes
- ✗Confondre une fonction linéaire (droite passant par l'origine) et une fonction affine (droite quelconque).
- ✗Oublier que pour trouver l'antécédent, il faut résoudre une équation, et non simplement remplacer x.
- ✗Faire des erreurs de calcul avec les nombres relatifs lors du calcul des images ou des antécédents.
- ✗Ne pas faire passer la droite d'une fonction linéaire par l'origine du repère.
- ✗Interpréter 'b' comme le coefficient directeur ou 'a' comme l'ordonnée à l'origine.
Exam tips
- ★Pour tracer la représentation graphique d'une fonction linéaire ou affine, il suffit de calculer les coordonnées de deux points distincts, puis de les relier avec une règle.
- ★Choisissez des valeurs de x simples (comme 0, 1, ou -1) pour calculer les points à placer sur le graphique.
- ★Vérifiez toujours que la droite d'une fonction linéaire passe bien par l'origine (0,0).
- ★L'ordonnée à l'origine 'b' donne directement le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées (0, b), ce qui est un point facile à placer.
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