Géométrie & données
Statistiques et Probabilités
5e · 4e · 3e
- ✓Calculer et interpréter les indicateurs de position (moyenne, médiane) et de dispersion (étendue) d'une série statistique.
- ✓Déterminer les effectifs et les fréquences d'une série statistique et les utiliser pour les calculs.
- ✓Comprendre et utiliser le vocabulaire lié aux probabilités (expérience aléatoire, issue, événement, probabilité).
- ✓Calculer la probabilité d'un événement simple dans une situation d'équiprobabilité.
- ✓Relier la notion de probabilité à celle de fréquence.
Key concepts
Une série statistique est un ensemble de données ou de valeurs recueillies lors d'une étude. Chaque valeur est appelée une donnée ou une observation.
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série. L'effectif total est la somme de tous les effectifs. La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total. Elle peut être exprimée en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
La moyenne arithmétique d'une série de valeurs est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs. Si les valeurs sont regroupées avec des effectifs (série pondérée), on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits, puis on divise par l'effectif total.
La médiane d'une série statistique est une valeur qui partage la série, préalablement rangée par ordre croissant (ou décroissant), en deux groupes de même effectif. Au moins 50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins 50% des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Elle mesure la dispersion des données.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, même si l'on connaît tous les résultats possibles. Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé une issue ou une éventualité.
Un événement est un ensemble d'issues (un sous-ensemble de tous les résultats possibles). Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue. Un événement certain est un événement qui se réalise toujours. Un événement impossible est un événement qui ne se réalise jamais. L'événement contraire d'un événement A, noté A̅ (ou A'), est l'événement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
Dans une situation d'équiprobabilité (où toutes les issues ont la même chance de se produire), la probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre d'issues favorables à cet événement et le nombre total d'issues possibles.
Key facts to remember
- 1Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%).
- 2La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience est égale à 1.
- 3La probabilité d'un événement certain est 1, et la probabilité d'un événement impossible est 0.
- 4La probabilité d'un événement A et celle de son événement contraire A̅ sont liées par la formule P(A) + P(A̅) = 1.
- 5La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (valeurs très grandes ou très petites).
- 6La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.
- 7L'étendue donne une idée de la dispersion des données.
Worked examples
Example 1
Voici les notes obtenues par 10 élèves à un devoir de mathématiques : 12 ; 8 ; 15 ; 10 ; 12 ; 9 ; 18 ; 12 ; 7 ; 13. Calculez la moyenne, la médiane et l'étendue de cette série de notes.
Answer
La moyenne des notes est 11,6. La médiane est 12. L'étendue est 11.
Pour un nombre pair de valeurs, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Example 2
Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes, toutes indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge ? Une bille qui n'est pas bleue ? Une bille jaune ?
Answer
La probabilité de tirer une bille rouge est 1/2 (ou 0,5 ou 50%). La probabilité de tirer une bille qui n'est pas bleue est 7/10 (ou 0,7 ou 70%). La probabilité de tirer une bille jaune est 0.
Une probabilité de 0 indique un événement impossible.
Example 3
Le tableau ci-dessous présente la répartition des âges des 20 membres d'un club de randonnée. Calculez l'âge moyen et l'étendue des âges.
Answer
L'âge moyen des membres du club est 32,75 ans. L'étendue des âges est 15 ans.
Pour calculer la médiane avec un tableau d'effectifs, il faut reconstituer la série ordonnée ou utiliser les effectifs cumulés.
Common mistakes
- ✗Oublier de ranger les valeurs par ordre croissant avant de calculer la médiane.
- ✗Confondre l'effectif et la fréquence d'une valeur.
- ✗Ne pas diviser par l'effectif total lors du calcul de la moyenne, surtout avec des séries pondérées.
- ✗Exprimer une probabilité comme un nombre inférieur à 0 ou supérieur à 1.
- ✗Ne pas simplifier les fractions pour les probabilités lorsque c'est possible.
Exam tips
- ★Pour la médiane, toujours commencer par ordonner la série statistique. Si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur centrale. Si l'effectif total est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.
- ★Lisez attentivement l'énoncé pour identifier clairement ce qui est demandé : moyenne, médiane, étendue, ou probabilité.
- ★Montrez toutes les étapes de vos calculs, même si vous utilisez une calculatrice, pour faciliter la correction et éviter les erreurs d'inattention.
- ★Utilisez la notation correcte (par exemple, P(événement) pour la probabilité) et les unités appropriées pour les résultats statistiques (par exemple, 'ans' pour un âge moyen).
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