Nombres & calculs
Nombres décimaux, Fractions et Proportionnalité
CM1 · CM2 · 6e
- ✓Identifier, lire et écrire les nombres décimaux (dixièmes, centièmes, millièmes).
- ✓Comprendre la notion de fraction comme partage d'un tout et comme quotient.
- ✓Établir des liens entre les fractions décimales et les nombres décimaux.
- ✓Reconnaître et résoudre des situations de proportionnalité simples.
- ✓Utiliser différentes représentations (fractions, décimaux) pour résoudre des problèmes.
Key concepts
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec une virgule. Il est composé d'une partie entière (à gauche de la virgule) et d'une partie décimale (à droite de la virgule). Chaque chiffre dans la partie décimale a une valeur de position spécifique : le premier chiffre après la virgule représente les dixièmes, le deuxième les centièmes, le troisième les millièmes, etc.\n\nExemple : Dans 3,25 :\n- 3 est la partie entière (3 unités).\n- 2 est le chiffre des dixièmes (2 dixièmes).\n- 5 est le chiffre des centièmes (5 centièmes).
Une fraction représente une partie d'un tout ou un partage équitable. Elle est écrite sous la forme a/b, où :\n- 'a' est le numérateur (le nombre de parts que l'on prend).\n- 'b' est le dénominateur (le nombre total de parts égales dans le tout).\nLe dénominateur ne peut jamais être zéro.\n\nExemple : 3/4 signifie que l'on a partagé un tout en 4 parts égales et que l'on en a pris 3.\n\nLes fractions décimales sont des fractions dont le dénominateur est 10, 100, 1000, etc. (par exemple, 7/10, 23/100).
Certaines fractions peuvent être écrites facilement sous forme de nombres décimaux, surtout les fractions décimales. Pour convertir une fraction en nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur.\n\nExemples :\n- 1/2 = 0,5 (un demi)\n- 1/4 = 0,25 (un quart)\n- 3/4 = 0,75 (trois quarts)\n- 7/10 = 0,7 (sept dixièmes)\n- 23/100 = 0,23 (vingt-trois centièmes)\n\nInversement, un nombre décimal peut être écrit comme une fraction décimale. Par exemple, 0,3 peut s'écrire 3/10 et 1,25 peut s'écrire 125/100.
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.\n\nExemple : Si 1 stylo coûte 2 euros, alors 2 stylos coûtent 4 euros, 3 stylos coûtent 6 euros, etc. Le prix est proportionnel au nombre de stylos, et le coefficient de proportionnalité est 2 (le prix d'un stylo).\n\nOn utilise souvent un tableau de proportionnalité pour organiser les données et trouver les valeurs manquantes.
Key facts to remember
- 1Un nombre décimal a une partie entière et une partie décimale séparées par une virgule.
- 2Les chiffres après la virgule représentent les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc.
- 3Une fraction représente un partage : le numérateur indique le nombre de parts prises, le dénominateur le nombre total de parts égales.
- 4Les fractions décimales ont un dénominateur de 10, 100, 1000, etc.
- 5Pour convertir une fraction en nombre décimal, on divise le numérateur par le dénominateur.
- 6Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre (le coefficient de proportionnalité).
- 7Un tableau de proportionnalité aide à organiser les données et à résoudre les problèmes de proportionnalité.
Worked examples
Example 1
Convertir la fraction 3/4 en nombre décimal, puis le nombre décimal 0,6 en fraction décimale.
Answer
3/4 = 0,75 et 0,6 = 6/10.
N'oubliez pas que 6/10 peut être simplifié en 3/5, mais 6/10 est déjà une fraction décimale.
Example 2
Classer les nombres suivants par ordre croissant : 0,5 ; 1/4 ; 0,75 ; 1/2 ; 0,3.
Answer
1/4 ; 0,3 ; 0,5 ; 1/2 ; 0,75.
Attention aux doublons ! 0,5 et 1/2 sont égaux.
Example 3
Un boulanger utilise 200 g de farine pour faire 4 gâteaux. Combien de farine lui faudra-t-il pour faire 6 gâteaux ? (Utiliser un tableau de proportionnalité)
Answer
Il faudra 300 g de farine pour faire 6 gâteaux.
On peut aussi passer par l'unité : si 4 gâteaux = 200g, alors 1 gâteau = 200g / 4 = 50g. Donc 6 gâteaux = 6 * 50g = 300g.
Common mistakes
- ✗Mal comparer les nombres décimaux, par exemple, penser que 0,5 est plus petit que 0,25 (car 5 est 'plus petit' que 25, sans tenir compte des dixièmes et centièmes).
- ✗Oublier que la virgule sépare la partie entière de la partie décimale et ne pas aligner correctement les nombres pour la comparaison ou l'addition.
- ✗Ne pas comprendre que le dénominateur d'une fraction indique le nombre total de parts ÉGALES.
- ✗Appliquer la proportionnalité à des situations qui ne le sont pas (par exemple, l'âge et la taille d'une personne).
- ✗Calculer incorrectement le coefficient de proportionnalité ou l'appliquer dans le mauvais sens.
Exam tips
- ★Lisez attentivement l'énoncé pour identifier s'il s'agit d'une situation de proportionnalité ou non.
- ★Pour comparer des nombres décimaux, ajoutez des zéros à la fin de la partie décimale pour qu'ils aient le même nombre de chiffres après la virgule (ex: 0,5 devient 0,50 pour comparer avec 0,25).
- ★Utilisez un tableau de proportionnalité pour organiser vos données et rendre vos calculs plus clairs.
- ★Simplifiez toujours les fractions quand c'est possible pour faciliter les calculs.
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