Sentido numérico & algebraico
Números, Proporcionalidad y Porcentajes
1º ESO · 2º ESO · 3º ESO · 4º ESO
- ✓Comprender y operar con números enteros y racionales, aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones y las reglas de los signos.
- ✓Resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa utilizando la regla de tres o la constante de proporcionalidad.
- ✓Calcular porcentajes, así como aumentos y disminuciones porcentuales, en situaciones de la vida cotidiana.
- ✓Aplicar las propiedades de las potencias y raíces para simplificar expresiones numéricas.
- ✓Identificar y corregir errores comunes en el cálculo con estos tipos de números y operaciones.
Key concepts
Los números enteros son el conjunto de los números naturales (positivos), sus opuestos (negativos) y el cero. Se representan con la letra Z. Incluyen {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) siguen reglas específicas para los signos.
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción a/b, donde 'a' es un número entero (numerador) y 'b' es un número entero distinto de cero (denominador). Incluyen los números enteros, los decimales exactos y los decimales periódicos. Las operaciones con fracciones requieren encontrar un denominador común (mínimo común múltiplo) para la suma y resta, y reglas específicas para la multiplicación y división.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. La razón entre sus valores correspondientes es constante (constante de proporcionalidad).
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. El producto de sus valores correspondientes es constante.
Un porcentaje es una forma de expresar una proporción o una fracción de 100. Se utiliza para representar una parte de un total. Un 'n%' significa 'n de cada 100'.
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Se compone de una base (el número que se multiplica) y un exponente (el número de veces que se multiplica la base por sí misma).
La raíz enésima de un número 'a' es otro número 'b' tal que 'b' elevado a 'n' es igual a 'a'. Es la operación inversa de la potenciación. La raíz cuadrada (índice 2) y la raíz cúbica (índice 3) son las más comunes.
Key facts to remember
- 1La jerarquía de las operaciones es: Paréntesis, Potencias y Raíces, Multiplicaciones y Divisiones, Sumas y Restas.
- 2En la multiplicación y división de enteros, signos iguales dan positivo (+), signos diferentes dan negativo (-).
- 3Para sumar o restar fracciones, es imprescindible que tengan el mismo denominador (mínimo común múltiplo).
- 4La constante de proporcionalidad directa es el cociente (y/x), y la de proporcionalidad inversa es el producto (x · y).
- 5Un porcentaje n% se puede expresar como la fracción n/100 o el decimal n/100.
- 6Cualquier número (distinto de cero) elevado a 0 es 1 (a⁰ = 1).
- 7Una potencia con exponente negativo es igual a la inversa de la base elevada al exponente positivo (a⁻ⁿ = 1/aⁿ).
- 8La raíz enésima de un número elevado a una potencia se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario (ⁿ√aᵐ = aᵐ/ⁿ).
Worked examples
Example 1
Calcula el resultado de la siguiente expresión combinada: (-5) · (3 - 7) + 18 : (-3) - (1/2 + 3/4) · 8
Answer
4
Recuerda la jerarquía de las operaciones: Paréntesis, Potencias y Raíces, Multiplicaciones y Divisiones, Sumas y Restas (PAPOMUDAS).
Example 2
Si 6 obreros tardan 10 días en construir un muro, ¿cuántos días tardarían 4 obreros en construir el mismo muro, trabajando al mismo ritmo?
Answer
4 obreros tardarían 15 días en construir el muro.
En la regla de tres inversa, se multiplica en línea recta y se divide por el término restante.
Example 3
El precio de un ordenador es de 750 €. Si primero se aplica un descuento del 20% y luego se le añade un 16% de IVA sobre el precio ya rebajado, ¿cuál es el precio final del ordenador? Además, calcula el valor de (2⁻² · 2⁵) / 2⁰.
Answer
El precio final del ordenador es 696 €. El valor de la expresión con potencias es 8.
Para aumentos y disminuciones porcentuales, puedes usar factores de cambio: Precio · (1 - %descuento) · (1 + %IVA).
Common mistakes
- ✗No respetar la jerarquía de las operaciones, especialmente con sumas/restas y multiplicaciones/divisiones.
- ✗Errores con la regla de los signos en operaciones con números enteros.
- ✗Confundir la proporcionalidad directa con la inversa, aplicando la regla de tres incorrecta.
- ✗Calcular aumentos o disminuciones porcentuales sobre la cantidad inicial en lugar de sobre la cantidad modificada en pasos sucesivos.
- ✗Errores al operar con potencias de exponente negativo o al aplicar las propiedades de las potencias.
Exam tips
- ★Lee atentamente el enunciado de cada problema para identificar qué tipo de números y operaciones se requieren.
- ★Muestra todos los pasos de tus cálculos de forma ordenada; esto te ayudará a evitar errores y facilitará la revisión.
- ★Verifica tus resultados, especialmente en problemas de proporcionalidad y porcentajes, para asegurarte de que tienen sentido en el contexto del problema.
- ★Simplifica las fracciones siempre que sea posible para trabajar con números más pequeños y evitar errores.
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