Sentido espacial & estocástico
Gráficos Estadísticos y Probabilidad
1º ESO · 2º ESO · 3º ESO · 4º ESO
- ✓Interpretar y construir tablas de frecuencias y diferentes tipos de gráficos estadísticos (diagramas de barras, de sectores, histogramas y polígonos de frecuencias).
- ✓Identificar y diferenciar experimentos aleatorios de los deterministas, y determinar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio.
- ✓Calcular la probabilidad de sucesos simples utilizando la Regla de Laplace.
- ✓Resolver problemas sencillos de probabilidad en contextos cotidianos.
Key concepts
Una variable estadística es una característica que se estudia en una población o muestra. Puede ser cualitativa (no se mide con números, ej. color de ojos), cuantitativa discreta (toma valores numéricos aislados, ej. número de hermanos) o cuantitativa continua (puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, ej. altura). Una tabla de frecuencias organiza los datos mostrando la frecuencia absoluta (fi, número de veces que aparece un dato), la frecuencia relativa (hi, fi dividido por el total de datos N), la frecuencia absoluta acumulada (Fi, suma de las fi hasta ese dato) y la frecuencia relativa acumulada (Hi, suma de las hi hasta ese dato).
Es un gráfico utilizado para representar la distribución de frecuencias de variables cualitativas o cuantitativas discretas. Consiste en barras rectangulares separadas, donde la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) del dato que representa.
También conocido como gráfico de pastel o circular, se utiliza para variables cualitativas. Representa la distribución de frecuencias mediante un círculo dividido en sectores. El área de cada sector (y su ángulo central) es proporcional a la frecuencia relativa del dato que representa, de modo que la suma de todos los ángulos es 360°.
El histograma se usa para representar la distribución de frecuencias de variables cuantitativas continuas (datos agrupados en intervalos). Consiste en barras rectangulares contiguas, donde la base de cada barra es la amplitud del intervalo y su altura es proporcional a la frecuencia. El polígono de frecuencias se construye uniendo los puntos medios de las bases superiores de las barras de un histograma, o las marcas de clase de los intervalos.
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza (ej. lanzar un dado). Un experimento determinista sí se puede predecir (ej. soltar una piedra). El espacio muestral (E) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. Un suceso elemental es un único resultado posible. Un suceso compuesto es la unión de varios sucesos elementales. El suceso seguro es el que siempre ocurre (E), y el suceso imposible (Ø) es el que nunca ocurre.
Permite calcular la probabilidad de un suceso A en experimentos aleatorios donde todos los sucesos elementales son equiprobables (tienen la misma probabilidad de ocurrir). Se define como el cociente entre el número de casos favorables al suceso A y el número total de casos posibles.
El suceso contrario (A') de un suceso A es el que ocurre cuando A no ocurre. La unión de sucesos (A U B) es el suceso que ocurre si ocurre A, o si ocurre B, o si ocurren ambos. La intersección de sucesos (A ∩ B) es el suceso que ocurre si ocurren A y B simultáneamente. Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez (su intersección es el suceso imposible); si pueden ocurrir a la vez, son compatibles.
Key facts to remember
- 1La suma de todas las frecuencias absolutas (fi) es igual al número total de datos (N).
- 2La suma de todas las frecuencias relativas (hi) es siempre 1.
- 3En un diagrama de sectores, la suma de los ángulos de todos los sectores es 360°.
- 4La probabilidad de un suceso imposible es 0, y la de un suceso seguro es 1.
- 5La Regla de Laplace solo se aplica cuando los sucesos elementales son equiprobables.
- 6La probabilidad de cualquier suceso A siempre está entre 0 y 1, ambos incluidos: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- 7El suceso contrario de A, A', es el que ocurre cuando A no ocurre. Su probabilidad es P(A') = 1 - P(A).
Worked examples
Example 1
Se realizó una encuesta a 20 estudiantes sobre su deporte favorito. Los resultados fueron: Fútbol, Baloncesto, Natación, Fútbol, Tenis, Baloncesto, Fútbol, Natación, Fútbol, Baloncesto, Tenis, Fútbol, Natación, Baloncesto, Fútbol, Tenis, Fútbol, Baloncesto, Natación, Fútbol. Construye una tabla de frecuencias y dibuja un diagrama de barras y un diagrama de sectores.
Answer
Tabla de frecuencias completada. El diagrama de barras mostrará barras de alturas 9, 5, 4 y 2 para Fútbol, Baloncesto, Natación y Tenis respectivamente. El diagrama de sectores mostrará divisiones con ángulos de 162°, 90°, 72° y 36° para los mismos deportes.
Asegúrate de etiquetar los ejes en el diagrama de barras y de incluir una leyenda o etiquetas en el diagrama de sectores.
Example 2
En una baraja española de 40 cartas (10 cartas por palo: oros, copas, espadas, bastos; números del 1 al 7, sota, caballo, rey), ¿cuál es la probabilidad de sacar al azar: a) un 'oro', b) un 'rey', c) un 'cinco de copas'?
Answer
a) P(Oro) = 1/4 = 0,25\nb) P(Rey) = 1/10 = 0,1\nc) P(Cinco de copas) = 1/40 = 0,025
Recuerda simplificar las fracciones a su mínima expresión.
Example 3
En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes. Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea: a) azul, b) no sea verde, c) sea roja o azul?
Answer
a) P(Azul) = 3/10 = 0,3\nb) P(No Verde) = 4/5 = 0,8\nc) P(Roja o Azul) = 4/5 = 0,8
Para 'no sea verde', puedes sumar los casos de las bolas que no son verdes o usar la probabilidad del suceso contrario.
Common mistakes
- ✗Confundir variables cualitativas con cuantitativas, o discretas con continuas, lo que lleva a elegir un gráfico incorrecto.
- ✗No usar la Regla de Laplace correctamente, confundiendo el número de casos favorables con el número de casos posibles.
- ✗Calcular mal los ángulos para el diagrama de sectores, olvidando multiplicar la frecuencia relativa por 360°.
- ✗Olvidar que la suma de las frecuencias relativas debe ser 1 (o 100% si se trabaja con porcentajes).
- ✗No simplificar las fracciones de probabilidad a su mínima expresión.
Exam tips
- ★Lee atentamente el enunciado para identificar el tipo de variable y el experimento aleatorio.
- ★Organiza los datos en tablas de frecuencias antes de construir gráficos para evitar errores y facilitar los cálculos.
- ★En problemas de probabilidad, define claramente el espacio muestral (E) y los sucesos antes de aplicar la Regla de Laplace.
- ★Asegúrate de que tus gráficos tengan títulos, etiquetas claras en los ejes y leyendas si son necesarias.
- ★Revisa tus cálculos, especialmente las sumas de frecuencias y los ángulos de los sectores.
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