Sentido numérico & algebraico
Polinomios, Ecuaciones y Funciones
1º ESO · 2º ESO · 3º ESO · 4º ESO
- ✓Manipular expresiones polinómicas, realizando operaciones básicas como suma, resta y multiplicación, y calculando su valor numérico.
- ✓Resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones cuadráticas completas e incompletas, aplicando las fórmulas y métodos adecuados.
- ✓Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción.
- ✓Representar gráficamente y analizar las características principales de funciones lineales y cuadráticas, como la pendiente, la ordenada en el origen, el vértice y los puntos de corte con los ejes.
- ✓Aplicar los conceptos de polinomios, ecuaciones y funciones para modelar y resolver problemas de la vida real.
Key concepts
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de monomios no semejantes. Cada monomio es un término del polinomio. El grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable. El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado, y el término independiente es el término que no tiene variable. El valor numérico de un polinomio se obtiene sustituyendo la variable por un número y realizando las operaciones indicadas.
Para sumar o restar polinomios, se agrupan y operan los términos semejantes (aquellos con la misma parte literal). Para multiplicar polinomios, cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio, y luego se suman los términos semejantes resultantes.
Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica donde la incógnita (normalmente 'x') tiene como máximo exponente 1. Su forma general es ax + b = 0, con a ≠ 0. Para resolverla, se despeja la incógnita, pasando los términos de un lado a otro de la igualdad, cambiando su signo.
Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica donde la incógnita tiene como máximo exponente 2. Su forma general es ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Se pueden resolver utilizando la fórmula general. Si b=0 o c=0, se denominan ecuaciones cuadráticas incompletas y se pueden resolver de forma más sencilla.
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. La solución es el conjunto de valores para las incógnitas que hacen que todas las ecuaciones sean ciertas. Los métodos más comunes para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas son sustitución, igualación y reducción.
Una función lineal es una función cuya gráfica es una línea recta. Su expresión algebraica es y = mx + n, donde 'm' es la pendiente (que indica la inclinación de la recta y la tasa de cambio) y 'n' es la ordenada en el origen (el punto donde la recta corta el eje Y, es decir, (0, n)).
Una función cuadrática es una función cuya expresión algebraica es y = ax² + bx + c, con a ≠ 0. Su gráfica es una parábola. Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba; si a < 0, se abre hacia abajo. El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola, y el eje de simetría es una recta vertical que pasa por el vértice.
Key facts to remember
- 1El grado de un polinomio es el mayor exponente de la variable en sus términos.
- 2La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas ax² + bx + c = 0 es x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
- 3El discriminante (Δ = b² - 4ac) de una ecuación cuadrática indica el número de soluciones reales: si Δ > 0 (dos soluciones), si Δ = 0 (una solución doble), si Δ < 0 (sin soluciones reales).
- 4Los métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones lineales son sustitución, igualación y reducción.
- 5En una función lineal y = mx + n, 'm' representa la pendiente de la recta y 'n' la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y).
- 6La gráfica de una función cuadrática y = ax² + bx + c es una parábola, cuyo vértice se encuentra en x_v = -b / (2a).
Worked examples
Example 1
Dados los polinomios P(x) = 2x³ - 3x + 5 y Q(x) = x² + 4x - 1, calcula:\n a) P(x) + Q(x)\n b) P(x) - Q(x)\n c) El valor numérico de P(x) para x = -2
Answer
a) P(x) + Q(x) = 2x³ + x² + x + 4\nb) P(x) - Q(x) = 2x³ - x² - 7x + 6\nc) P(-2) = -5
Recuerda aplicar correctamente la regla de los signos al operar con números negativos.
Example 2
Resuelve la ecuación cuadrática: 3x² - 7x + 2 = 0
Answer
Las soluciones de la ecuación son x₁ = 2 y x₂ = 1/3.
Presta especial atención a los signos al sustituir los valores en la fórmula, especialmente con -b y b².
Example 3
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción:\n 2x + 3y = 12\n 5x - 2y = 11
Answer
La solución del sistema es x = 3, y = 2.
Puedes elegir eliminar 'x' o 'y'. A veces es más fácil eliminar una que otra. Asegúrate de multiplicar todos los términos de la ecuación.
Common mistakes
- ✗Errores de signo al operar polinomios, al despejar incógnitas en ecuaciones o al aplicar la fórmula cuadrática.
- ✗Olvidar el '±' en la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas, lo que lleva a encontrar solo una de las dos soluciones.
- ✗No dividir todo el numerador por '2a' en la fórmula cuadrática, aplicando la división solo a la raíz cuadrada.
- ✗Confundir la pendiente ('m') con la ordenada en el origen ('n') al interpretar o graficar funciones lineales.
- ✗Calcular incorrectamente el vértice de una parábola, especialmente al sustituir x_v en la función para hallar y_v.
Exam tips
- ★Revisa siempre los signos en cada paso de tus cálculos. Un error de signo es muy común y puede invalidar todo el ejercicio.
- ★Comprueba tus soluciones: sustituye los valores obtenidos en las ecuaciones o sistemas originales para asegurarte de que satisfacen todas las condiciones.
- ★Para las funciones, haz un pequeño esquema o tabla de valores antes de graficar para visualizar mejor la forma de la curva o recta, especialmente los puntos de corte con los ejes y el vértice.
- ★Lee atentamente los enunciados de los problemas para identificar qué se pide y qué datos se proporcionan, y no olvides las unidades si son aplicables en la respuesta final.
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