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Geometría & Estadística

Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos

1º Bachillerato · 2º Bachillerato

  • ✓Manejar con soltura las operaciones con vectores en el plano y en el espacio, incluyendo el producto escalar, vectorial y mixto.
  • ✓Determinar las diferentes ecuaciones de rectas en el plano y en el espacio, y de planos en el espacio.
  • ✓Analizar las posiciones relativas entre puntos, rectas y planos, y resolver problemas de intersección.
  • ✓Calcular distancias entre puntos, rectas y planos, y ángulos entre ellos.
  • ✓Aplicar los conceptos de geometría analítica para resolver problemas geométricos en 2D y 3D.

Key concepts

Vector en el Espacio (R³)

Un vector es un segmento orientado caracterizado por su módulo (longitud), dirección y sentido. Se puede representar por sus componentes en un sistema de coordenadas.

Componentes de un Vector

Si A(x₁, y₁, z₁) y B(x₂, y₂, z₂) son dos puntos, el vector AB se obtiene restando las coordenadas del origen a las del extremo.

AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)
Módulo de un Vector

El módulo de un vector v=(v₁, v₂, v₃) es la longitud del vector.

|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)
Operaciones con Vectores

La suma, resta y producto por un escalar se realizan componente a componente.

Producto Escalar (·)

El producto escalar de dos vectores u y v es un número real. Mide la proyección de un vector sobre otro. Es nulo si los vectores son ortogonales (perpendiculares).

u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ o u·v = |u|·|v|·cos(α)
Producto Vectorial (x) (Solo en R³)

El producto vectorial de dos vectores u y v es un nuevo vector perpendicular a ambos. Su módulo es el área del paralelogramo que forman. Es nulo si los vectores son paralelos.

u x v = det( [i j k], [u₁ u₂ u₃], [v₁ v₂ v₃] )
Producto Mixto ([u, v, w]) (Solo en R³)

El producto mixto de tres vectores u, v y w es un número real. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que forman. Es nulo si los vectores son coplanarios.

[u, v, w] = u·(v x w) = det( [u₁ u₂ u₃], [v₁ v₂ v₃], [w₁ w₂ w₃] )
Ecuaciones de la Recta en R²

Una recta en el plano queda determinada por un punto y un vector director. Sus formas principales son:

Vectorial: (x, y) = P + λv; Paramétricas: x = p₁ + λv₁, y = p₂ + λv₂; Continua: (x - p₁) / v₁ = (y - p₂) / v₂; General (Implícita): Ax + By + C = 0; Explícita: y = mx + n; Punto-Pendiente: y - p₂ = m(x - p₁)
Ecuaciones de la Recta en R³

Una recta en el espacio queda determinada por un punto y un vector director. Sus formas principales son:

Vectorial: (x, y, z) = P + λv; Paramétricas: x = p₁ + λv₁, y = p₂ + λv₂, z = p₃ + λv₃; Continua: (x - p₁) / v₁ = (y - p₂) / v₂ = (z - p₃) / v₃; Como intersección de dos planos: { A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 }
Ecuaciones del Plano en R³

Un plano en el espacio queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos, o por un punto y un vector normal.

Vectorial: (x, y, z) = P + λu + μv; Paramétricas: x = p₁ + λu₁ + μv₁, y = p₂ + λu₂ + μv₂, z = p₃ + λu₃ + μv₃; General (Implícita): Ax + By + Cz + D = 0 (donde (A, B, C) es el vector normal)
Posiciones Relativas

Estudio de cómo se intersecan o se relacionan geométricamente puntos, rectas y planos. Puede ser secantes, paralelas, coincidentes o, en R³, rectas que se cruzan.

Distancia de un Punto P(x₀, y₀, z₀) a un Plano π: Ax + By + Cz + D = 0

La distancia más corta desde un punto al plano.

d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Distancia de un Punto P a una Recta r en R³

La distancia más corta desde un punto a una recta. A es un punto de la recta y v su vector director.

d(P, r) = |AP x v| / |v|
Distancia entre dos Rectas r y s que se cruzan en R³

La distancia más corta entre dos rectas que no son paralelas ni se intersecan. A es un punto de r, P es un punto de s, v_r y v_s son sus vectores directores.

d(r, s) = |[AP, v_r, v_s]| / |v_r x v_s|
Ángulo entre dos Vectores u y v

El ángulo agudo entre dos vectores se calcula a partir de su producto escalar.

cos(α) = |u·v| / (|u|·|v|)
Ángulo entre dos Rectas r y s

El ángulo agudo entre dos rectas se calcula a partir del producto escalar de sus vectores directores v_r y v_s.

cos(α) = |v_r · v_s| / (|v_r|·|v_s|)
Ángulo entre dos Planos π₁ y π₂

El ángulo agudo entre dos planos se calcula a partir del producto escalar de sus vectores normales n₁ y n₂.

cos(α) = |n₁ · n₂| / (|n₁|·|n₂|)
Ángulo entre una Recta r y un Plano π

El ángulo agudo entre una recta y un plano se calcula usando el seno del ángulo entre el vector director de la recta v_r y el vector normal del plano n.

sen(α) = |v_r · n| / (|v_r|·|n|)

Key facts to remember

  • 1Un vector director de una recta es paralelo a ella; un vector normal de un plano es perpendicular a él.
  • 2Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es cero.
  • 3Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es el vector nulo (en R³) o si sus componentes son proporcionales.
  • 4El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área del paralelogramo que forman.
  • 5El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo que forman.
  • 6Para calcular el ángulo entre dos elementos, se usa el producto escalar de sus vectores directores/normales. ¡Cuidado con el seno para el ángulo recta-plano!
  • 7La distancia de un punto P(x₀, y₀, z₀) a un plano Ax+By+Cz+D=0 es |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²).

Worked examples

Example 1

Dados los puntos A(1, -2, 3), B(3, 0, 1) y C(0, 2, -1).\na) Calcula los vectores AB y AC.\nb) Calcula el producto escalar AB · AC.\nc) Calcula el producto vectorial AB x AC.\nd) Calcula el área del triángulo formado por A, B y C.

Ia) Cálculo de los vectores:
IIAB = B - A = (3-1, 0-(-2), 1-3) = (2, 2, -2)
IIIAC = C - A = (0-1, 2-(-2), -1-3) = (-1, 4, -4)
IVb) Cálculo del producto escalar AB · AC:
VAB · AC = (2)(-1) + (2)(4) + (-2)(-4) = -2 + 8 + 8 = 14
VIc) Cálculo del producto vectorial AB x AC:
VIIAB x AC = det( [i j k], [2 2 -2], [-1 4 -4] )
VIII= i(2·(-4) - (-2)·4) - j(2·(-4) - (-2)·(-1)) + k(2·4 - 2·(-1))
9= i(-8 + 8) - j(-8 - 2) + k(8 + 2)
10= 0i + 10j + 10k = (0, 10, 10)
11d) Cálculo del área del triángulo:
12El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores que lo forman.
13Área = ½ |AB x AC| = ½ |(0, 10, 10)|
14= ½ √(0² + 10² + 10²) = ½ √(100 + 100) = ½ √200
15= ½ √(100·2) = ½ · 10√2 = 5√2

Answer

a) AB = (2, 2, -2), AC = (-1, 4, -4)\nb) AB · AC = 14\nc) AB x AC = (0, 10, 10)\nd) Área = 5√2 u²

Recuerda que el producto vectorial es un vector, mientras que el producto escalar es un número.

Example 2

Dada la recta r: (x-1)/2 = y/1 = (z+1)/(-1) y el punto P(2, -1, 3).\na) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r.\nb) Halla la ecuación general del plano π que pasa por P y es perpendicular a r.\nc) Calcula la distancia del origen de coordenadas O(0,0,0) al plano π.

Ia) Ecuaciones paramétricas de la recta r:
IIDe la ecuación continua, identificamos un punto de la recta P_r(1, 0, -1) y su vector director v_r = (2, 1, -1).
IIILas ecuaciones paramétricas son: x = 1 + 2λ, y = λ, z = -1 - λ.
IVb) Ecuación general del plano π:
VEl plano π pasa por P(2, -1, 3).
VIComo π es perpendicular a r, el vector director de r, v_r = (2, 1, -1), es el vector normal del plano π. Así, n = (2, 1, -1).
VIILa ecuación general del plano es de la forma Ax + By + Cz + D = 0. Sustituimos el vector normal: 2x + 1y - 1z + D = 0.
VIIIPara hallar D, sustituimos el punto P(2, -1, 3) en la ecuación:
92(2) + (-1) - (3) + D = 0
104 - 1 - 3 + D = 0
110 + D = 0 => D = 0.
12La ecuación general del plano π es 2x + y - z = 0.
13c) Distancia del origen O(0,0,0) al plano π:
14Usamos la fórmula de distancia de un punto a un plano: d(O, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
15d(O, π) = |2(0) + 1(0) - 1(0) + 0| / √(2² + 1² + (-1)²) = |0| / √(4 + 1 + 1) = 0 / √6 = 0.

Answer

a) r: { x = 1 + 2λ, y = λ, z = -1 - λ }\nb) π: 2x + y - z = 0\nc) d(O, π) = 0 u

Una distancia de 0 significa que el punto está contenido en el plano.

Example 3

Dadas las rectas r: { x = 1 + λ, y = -1 + 2λ, z = 2 - λ } y s: { x = μ, y = 1 - μ, z = 3 + 2μ }.\na) Estudia la posición relativa de las rectas r y s.\nb) Si se cruzan, calcula la distancia entre ellas.

Ia) Posición relativa de las rectas r y s:
IIPrimero, identificamos un punto y un vector director para cada recta:
IIIRecta r: P_r(1, -1, 2), v_r = (1, 2, -1)
IVRecta s: P_s(0, 1, 3), v_s = (1, -1, 2)
VComprobamos si los vectores directores son paralelos (proporcionales):
VIv_r = (1, 2, -1)
VIIv_s = (1, -1, 2)
VIIILas componentes no son proporcionales (1/1 ≠ 2/-1), por lo tanto, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Pueden ser secantes o cruzarse.
9Para distinguirlo, formamos el vector P_rP_s = P_s - P_r = (0-1, 1-(-1), 3-2) = (-1, 2, 1).
10Calculamos el producto mixto [v_r, v_s, P_rP_s]:
11[v_r, v_s, P_rP_s] = det( [1 2 -1], [1 -1 2], [-1 2 1] )
12= 1·((-1)·1 - 2·2) - 2·(1·1 - 2·(-1)) + (-1)·(1·2 - (-1)·(-1))
13= 1·(-1 - 4) - 2·(1 + 2) - 1·(2 - 1)
14= 1·(-5) - 2·(3) - 1·(1)
15= -5 - 6 - 1 = -12.
16Como el producto mixto es distinto de cero (-12 ≠ 0), los tres vectores son linealmente independientes, lo que significa que las rectas se cruzan.
17b) Distancia entre rectas que se cruzan:
18La fórmula es d(r, s) = |[v_r, v_s, P_rP_s]| / |v_r x v_s|.
19Ya tenemos [v_r, v_s, P_rP_s] = -12.
20Ahora calculamos el producto vectorial v_r x v_s:
21v_r x v_s = det( [i j k], [1 2 -1], [1 -1 2] )
22= i(2·2 - (-1)·(-1)) - j(1·2 - (-1)·1) + k(1·(-1) - 2·1)
23= i(4 - 1) - j(2 + 1) + k(-1 - 2)
24= 3i - 3j - 3k = (3, -3, -3).
25Calculamos el módulo de v_r x v_s:
26|v_r x v_s| = √(3² + (-3)² + (-3)²) = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3.
27Finalmente, la distancia:
28d(r, s) = |-12| / (3√3) = 12 / (3√3) = 4 / √3.
29Racionalizamos el resultado: d(r, s) = (4√3) / 3.

Answer

a) Las rectas r y s se cruzan.\nb) d(r, s) = (4√3) / 3 u

Si el producto mixto hubiera sido cero, las rectas serían secantes (si los vectores directores no son paralelos).

Common mistakes

  • ✗Confundir el producto escalar (resultado escalar) con el producto vectorial (resultado vector).
  • ✗Errores al calcular determinantes para el producto vectorial o mixto, especialmente con los signos.
  • ✗Utilizar la fórmula del coseno para el ángulo entre una recta y un plano, en lugar de la del seno.
  • ✗Olvidar el valor absoluto en las fórmulas de distancia, lo que puede resultar en distancias negativas.
  • ✗Confundir el vector director de una recta con el vector normal de un plano, o viceversa, al establecer condiciones de paralelismo o perpendicularidad.
  • ✗No considerar todos los casos posibles al estudiar la posición relativa de rectas en el espacio (secantes, paralelas, coincidentes, se cruzan).

Exam tips

  • ★**Esquematiza el problema**: Un dibujo, aunque sea simple, puede ayudarte a visualizar la situación y a elegir el método correcto.
  • ★**Identifica los elementos clave**: Antes de empezar a calcular, asegúrate de tener claros los puntos, vectores directores y vectores normales de cada elemento geométrico.
  • ★**Revisa las fórmulas**: Asegúrate de usar la fórmula correcta para cada cálculo (distancia, ángulo, área, volumen) y de aplicarla correctamente.
  • ★**Comprueba tus resultados**: Si el tiempo lo permite, sustituye los valores obtenidos en las ecuaciones originales o realiza alguna comprobación lógica (ej., si una recta es perpendicular a un plano, su vector director debe ser paralelo al vector normal del plano).
  • ★**Organiza tu trabajo**: Presenta los pasos de forma clara y ordenada, justificando cada uno. Esto no solo facilita la corrección, sino que también te ayuda a evitar errores.

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