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Geometría & Estadística

Distribuciones de Probabilidad e Inferencia Estadística

1º Bachillerato · 2º Bachillerato

  • ✓Comprender y aplicar las propiedades de las distribuciones de probabilidad discreta (Binomial) y continua (Normal).
  • ✓Saber estandarizar una variable aleatoria normal y utilizar las tablas de la distribución Normal Estándar N(0, 1).
  • ✓Aplicar la aproximación de la distribución Binomial por la Normal cuando las condiciones lo permitan.
  • ✓Entender los conceptos de población, muestra, parámetro y estadístico en el contexto de la inferencia estadística.
  • ✓Calcular e interpretar intervalos de confianza para la media y la proporción poblacional.

Key concepts

Distribuciones de Probabilidad

Una distribución de probabilidad describe cómo se distribuyen las probabilidades de los diferentes resultados de una variable aleatoria. Pueden ser discretas (si la variable toma valores contables) o continuas (si la variable toma cualquier valor en un intervalo).

Distribución Binomial B(n, p)

Describe el número de éxitos en una secuencia de 'n' ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con una probabilidad de éxito 'p'. Se aplica cuando hay un número fijo de pruebas, cada prueba tiene solo dos resultados posibles (éxito/fracaso), la probabilidad de éxito es constante y las pruebas son independientes.

P(X=k) = (n sobre k) * p^k * (1-p)^(n-k)\nMedia (μ) = n * p\nVarianza (σ²) = n * p * (1-p)
Distribución Normal N(μ, σ)

Es la distribución de probabilidad continua más importante, caracterizada por su forma de campana (gaussiana) y simetría. Se define por dos parámetros: la media (μ) y la desviación típica (σ). Muchas variables naturales y sociales siguen esta distribución. La Normal Estándar N(0, 1) es una Normal con μ=0 y σ=1, y se utiliza para calcular probabilidades de cualquier Normal mediante la estandarización.

Z = (X - μ) / σ
Aproximación de la Binomial por la Normal

Cuando el número de ensayos 'n' es grande y la probabilidad 'p' no es extrema (ni muy cercana a 0 ni a 1), la distribución Binomial B(n, p) puede aproximarse por una distribución Normal N(μ, σ) con μ = n*p y σ = raíz(n*p*(1-p)). Se recomienda usar esta aproximación si n*p ≥ 5 y n*(1-p) ≥ 5. Es crucial aplicar una 'corrección por continuidad' de ±0,5 al pasar de una variable discreta a una continua.

X ~ B(n, p) ≈ Y ~ N(n*p, raíz(n*p*(1-p)))\nP(X=k) ≈ P(k-0,5 < Y < k+0,5)\nP(X≤k) ≈ P(Y < k+0,5)
Inferencia Estadística

Es el conjunto de métodos que permiten deducir propiedades de una población a partir de los resultados de una muestra representativa de la misma. Los conceptos clave son: Población (el conjunto total de elementos), Muestra (un subconjunto de la población), Parámetro (una característica numérica de la población, ej. μ, p) y Estadístico (una característica numérica de la muestra, ej. X̄, P̂).

Teorema Central del Límite (TCL)

Establece que, si se extraen muestras aleatorias de tamaño 'n' de una población con media μ y desviación típica σ, la distribución de las medias muestrales (X̄) se aproximará a una distribución Normal N(μ, σ/√n) a medida que 'n' aumenta, independientemente de la forma de la distribución original de la población. Si la población ya es Normal, la distribución de X̄ será Normal para cualquier 'n'.

X̄ ~ N(μ, σ/√n)
Intervalos de Confianza

Un intervalo de confianza es un rango de valores, calculado a partir de los datos de una muestra, que probablemente contiene el verdadero valor de un parámetro poblacional desconocido (como la media μ o la proporción p) con un cierto nivel de confianza (1-α). El nivel de confianza es la probabilidad de que el intervalo contenga el parámetro. El error máximo admisible (E) es la mitad de la longitud del intervalo.

Para la media (μ) con σ conocida: X̄ ± z_α/2 * (σ/√n)\nPara la proporción (p): P̂ ± z_α/2 * raíz(P̂(1-P̂)/n)\nError máximo admisible (E) = z_α/2 * (σ/√n) o z_α/2 * raíz(P̂(1-P̂)/n)\nTamaño muestral (n) para la media: n = (z_α/2 * σ / E)²\nTamaño muestral (n) para la proporción: n = (z_α/2 / E)² * P̂(1-P̂) (o 0,25 si no se conoce P̂)

Key facts to remember

  • 1La distribución Binomial B(n, p) modela el número de éxitos en 'n' pruebas independientes con probabilidad 'p' de éxito.
  • 2La distribución Normal N(μ, σ) es simétrica y con forma de campana, caracterizada por su media (μ) y desviación típica (σ).
  • 3Para estandarizar una variable Normal X a una Normal Estándar Z, se usa la fórmula Z = (X - μ) / σ.
  • 4La aproximación de la Binomial por la Normal es válida si n*p ≥ 5 y n*(1-p) ≥ 5, y requiere corrección por continuidad.
  • 5El Teorema Central del Límite asegura que la distribución de las medias muestrales tiende a ser Normal para muestras grandes.
  • 6Un intervalo de confianza proporciona un rango de valores para un parámetro poblacional con un nivel de confianza dado.
  • 7El nivel de confianza (1-α) y el error máximo admisible (E) son cruciales para la construcción e interpretación de los intervalos.
  • 8El tamaño de la muestra 'n' es inversamente proporcional al error máximo admisible; para reducir el error, se necesita una muestra mayor.

Worked examples

Example 1

Un examen tipo test consta de 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta. Si un estudiante responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte entre 20 y 30 preguntas (ambas inclusive)?

IIdentificamos la distribución: Es una Binomial B(n, p) con n=100 (preguntas) y p=1/4=0,25 (probabilidad de acertar al azar).
IIComprobamos las condiciones para la aproximación a la Normal: n*p = 100*0,25 = 25 ≥ 5 y n*(1-p) = 100*0,75 = 75 ≥ 5. Se puede aproximar por una Normal.
IIICalculamos los parámetros de la Normal aproximada: μ = n*p = 25 y σ = raíz(n*p*(1-p)) = raíz(100*0,25*0,75) = raíz(18,75) ≈ 4,3301.
IVAplicamos la corrección por continuidad para P(20 ≤ X ≤ 30): P(19,5 ≤ Y ≤ 30,5) donde Y ~ N(25, 4,3301).
VEstandarizamos los valores: Z1 = (19,5 - 25) / 4,3301 = -5,5 / 4,3301 ≈ -1,27 y Z2 = (30,5 - 25) / 4,3301 = 5,5 / 4,3301 ≈ 1,27.
VICalculamos la probabilidad usando la tabla de la N(0, 1): P(-1,27 ≤ Z ≤ 1,27) = P(Z ≤ 1,27) - P(Z ≤ -1,27) = P(Z ≤ 1,27) - (1 - P(Z ≤ 1,27)) = 2 * P(Z ≤ 1,27) - 1.
VIIBuscamos en la tabla: P(Z ≤ 1,27) ≈ 0,8980.
VIIIFinalizamos el cálculo: 2 * 0,8980 - 1 = 1,7960 - 1 = 0,7960.

Answer

La probabilidad de que acierte entre 20 y 30 preguntas es aproximadamente 0,7960.

La corrección por continuidad es fundamental al aproximar una distribución discreta con una continua.

Example 2

Se desea estimar la altura media de los estudiantes de Bachillerato de una ciudad. Se toma una muestra aleatoria de 150 estudiantes y se obtiene una altura media de 172 cm. Sabiendo que la desviación típica de las alturas en la población es de 8 cm, construye un intervalo de confianza del 95% para la altura media poblacional.

IIdentificamos los datos: n = 150, X̄ = 172 cm, σ = 8 cm. Nivel de confianza = 95%, lo que implica α = 0,05 y α/2 = 0,025.
IICalculamos el valor crítico z_α/2: Para un nivel de confianza del 95%, P(Z ≤ z_α/2) = 1 - α/2 = 1 - 0,025 = 0,975. Buscando en la tabla de la N(0, 1), encontramos que z_0,025 = 1,96.
IIIAplicamos la fórmula del intervalo de confianza para la media con σ conocida: IC = X̄ ± z_α/2 * (σ/√n).
IVSustituimos los valores: IC = 172 ± 1,96 * (8/√150).
VCalculamos el error máximo admisible (E): E = 1,96 * (8 / 12,247) ≈ 1,96 * 0,6532 ≈ 1,2803.
VIConstruimos el intervalo: IC = (172 - 1,2803 ; 172 + 1,2803) = (170,7197 ; 173,2803).
VIIRedondeamos a dos decimales: IC = (170,72 ; 173,28).

Answer

El intervalo de confianza del 95% para la altura media de los estudiantes de Bachillerato es (170,72 cm ; 173,28 cm).

Esto significa que, si repitiéramos el muestreo muchas veces, el 95% de los intervalos construidos de esta manera contendrían la verdadera altura media poblacional.

Example 3

Una encuesta a 400 personas revela que 220 de ellas están a favor de una nueva ley. Calcula un intervalo de confianza del 99% para la proporción de la población que apoya la ley.

IIdentificamos los datos: n = 400. Número de éxitos = 220. Nivel de confianza = 99%, lo que implica α = 0,01 y α/2 = 0,005.
IICalculamos la proporción muestral (P̂): P̂ = 220 / 400 = 0,55.
IIICalculamos el valor crítico z_α/2: Para un nivel de confianza del 99%, P(Z ≤ z_α/2) = 1 - α/2 = 1 - 0,005 = 0,995. Buscando en la tabla de la N(0, 1), encontramos que z_0,005 = 2,575 (o 2,58 si se usa una tabla menos precisa). Usaremos 2,575.
IVAplicamos la fórmula del intervalo de confianza para la proporción: IC = P̂ ± z_α/2 * raíz(P̂(1-P̂)/n).
VSustituimos los valores: IC = 0,55 ± 2,575 * raíz(0,55 * (1-0,55) / 400).
VICalculamos el término del error: raíz(0,55 * 0,45 / 400) = raíz(0,2475 / 400) = raíz(0,00061875) ≈ 0,02487.
VIICalculamos el error máximo admisible (E): E = 2,575 * 0,02487 ≈ 0,06408.
VIIIConstruimos el intervalo: IC = (0,55 - 0,06408 ; 0,55 + 0,06408) = (0,48592 ; 0,61408).
9Redondeamos a tres decimales: IC = (0,486 ; 0,614).

Answer

El intervalo de confianza del 99% para la proporción de la población que apoya la ley es (0,486 ; 0,614).

Este intervalo nos indica que, con un 99% de confianza, la verdadera proporción de la población a favor de la ley está entre el 48,6% y el 61,4%.

Common mistakes

  • ✗No aplicar la corrección por continuidad (±0,5) al aproximar una Binomial (discreta) con una Normal (continua).
  • ✗Confundir la desviación típica de la población (σ) con la desviación típica de la muestra (s) o con el error estándar de la media (σ/√n).
  • ✗Calcular incorrectamente el valor crítico z_α/2 para un nivel de confianza dado (ej. usar z_α en lugar de z_α/2).
  • ✗Interpretar erróneamente el intervalo de confianza como la probabilidad de que el parámetro poblacional caiga en el intervalo (el parámetro es fijo, el intervalo es aleatorio).
  • ✗Asumir que la distribución muestral de la media es Normal para cualquier tamaño de muestra 'n' cuando la población original no es Normal (el TCL requiere 'n' grande).

Exam tips

  • ★Lee atentamente el enunciado para identificar si se trata de una Binomial, Normal, o si se requiere inferencia (intervalos de confianza).
  • ★Si usas la aproximación de la Binomial por la Normal, no olvides justificarla (comprobar n*p y n*(1-p) ≥ 5) y aplicar la corrección por continuidad.
  • ★Asegúrate de usar la tabla de la Normal Estándar N(0, 1) correctamente, especialmente para valores negativos de Z o para probabilidades 'mayores que'.
  • ★Para los intervalos de confianza, identifica claramente el parámetro a estimar (media o proporción) y el nivel de confianza para encontrar el z_α/2 adecuado.
  • ★Muestra siempre todos los pasos de tus cálculos, incluyendo las fórmulas utilizadas y la sustitución de valores, para obtener la máxima puntuación.

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