Análisis & Álgebra
Límites, Continuidad, Derivadas e Integrales
1º Bachillerato · 2º Bachillerato
- ✓Calcular límites de funciones, incluyendo indeterminaciones y límites en el infinito.
- ✓Analizar la continuidad de una función en un punto y en un intervalo, identificando los tipos de discontinuidad.
- ✓Calcular la derivada de una función utilizando la definición y las reglas de derivación, e interpretar su significado geométrico.
- ✓Aplicar las derivadas para estudiar la monotonía, los extremos relativos, la curvatura y los puntos de inflexión de una función.
- ✓Calcular integrales indefinidas y definidas, aplicando la Regla de Barrow para determinar áreas bajo la curva.
Key concepts
El límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un punto 'a' (o al infinito) es el valor al que se acerca f(x). Se denota como lim_{x->a} f(x) = L. Para que exista el límite en un punto, los límites laterales (por la izquierda y por la derecha) deben existir y ser iguales. Existen diferentes tipos de límites: límites finitos en un punto, límites infinitos en un punto (asíntotas verticales) y límites en el infinito (asíntotas horizontales u oblicuas).
Una función f(x) es continua en un punto x=a si se cumplen tres condiciones: 1) f(a) existe (el punto está en el dominio), 2) lim_{x->a} f(x) existe (los límites laterales son iguales y finitos), y 3) lim_{x->a} f(x) = f(a). Si alguna de estas condiciones no se cumple, la función es discontinua en ese punto. Las discontinuidades pueden ser evitables (si el límite existe pero no coincide con f(a) o f(a) no existe) o de salto (si los límites laterales son distintos o infinitos).
La derivada de una función f(x) en un punto x=a, denotada como f'(a), mide la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a, f(a)). Se define como el límite del cociente de diferencias. La función derivada, f'(x), asigna a cada punto x la derivada de f en ese punto. Las reglas de derivación permiten calcular derivadas de funciones complejas a partir de las derivadas de funciones básicas.
La derivada es fundamental para el estudio de las propiedades de una función. La primera derivada (f'(x)) permite analizar la monotonía (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y localizar los extremos relativos (máximos y mínimos). La segunda derivada (f''(x)) se utiliza para estudiar la curvatura (intervalos de convexidad y concavidad) y determinar los puntos de inflexión, donde la curvatura cambia.
Una función F(x) es una primitiva de f(x) si la derivada de F(x) es f(x), es decir, F'(x) = f(x). La integral indefinida de f(x), denotada como ∫f(x)dx, es el conjunto de todas las primitivas de f(x). Siempre se añade una constante de integración 'C' porque la derivada de una constante es cero, lo que significa que hay infinitas primitivas para una función dada.
La integral definida de una función f(x) en un intervalo [a, b], denotada como ∫_a^b f(x)dx, representa el área neta entre la gráfica de f(x) y el eje x en ese intervalo. Se calcula utilizando la Regla de Barrow: si F(x) es una primitiva de f(x), entonces la integral definida es la diferencia entre F(b) y F(a).
Key facts to remember
- 1Para que una función sea continua en un punto, el límite de la función en ese punto debe existir y ser igual al valor de la función en el punto.
- 2La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.
- 3Si la primera derivada f'(x) es positiva, la función es creciente; si es negativa, es decreciente. Los puntos donde f'(x)=0 son candidatos a extremos relativos.
- 4Si la segunda derivada f''(x) es positiva, la función es convexa (∪); si es negativa, la función es cóncava (∩). Los puntos donde f''(x)=0 son candidatos a puntos de inflexión.
- 5La integral indefinida de una función es el conjunto de todas sus primitivas, y siempre incluye una constante de integración 'C'.
- 6La Regla de Barrow permite calcular la integral definida de una función en un intervalo como la diferencia de una de sus primitivas evaluada en los límites superior e inferior del intervalo.
- 7Las indeterminaciones más comunes en límites son 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0·∞, 1^∞, ∞^0, 0^0. Las dos primeras se pueden resolver con L'Hôpital.
Worked examples
Example 1
Calcula el siguiente límite: lim_{x->2} (x^2 - 4) / (x - 2)
Answer
El límite es 4.
Ambos métodos son válidos para resolver indeterminaciones del tipo 0/0. La factorización es útil cuando es sencilla, mientras que L'Hôpital es más general.
Example 2
Dada la función f(x) = { x^2 + 1 si x <= 1, 3x - 1 si x > 1 }. Estudia su continuidad y calcula su derivada.
Answer
La función f(x) es continua en todo R. La función derivada es f'(x) = { 2x si x < 1, 3 si x > 1 }. La función no es derivable en x = 1.
Una función debe ser continua en un punto para ser derivable en él, pero la continuidad no garantiza la derivabilidad.
Example 3
Calcula la integral definida ∫_1^3 (x^2 - 3x + 2) dx.
Answer
La integral definida es 2/3.
Recuerda que la integral definida representa el área neta. Un resultado positivo indica que hay más área por encima del eje x que por debajo.
Common mistakes
- ✗Confundir la continuidad con la derivabilidad: una función continua no es necesariamente derivable (ej. |x| en x=0).
- ✗Olvidar la constante de integración 'C' al calcular integrales indefinidas.
- ✗Aplicar la Regla de L'Hôpital incorrectamente, derivando el cociente en lugar de derivar numerador y denominador por separado.
- ✗No verificar los límites laterales al estudiar la continuidad o derivabilidad en funciones a trozos.
- ✗Interpretar erróneamente la curvatura: en España, 'convexa' es la forma de 'U' y 'cóncava' la de 'U' invertida, lo opuesto a algunas convenciones internacionales.
Exam tips
- ★Al calcular límites con indeterminaciones, siempre indica el tipo de indeterminación antes de aplicar el método de resolución (factorización, L'Hôpital, etc.).
- ★Para funciones a trozos, presta especial atención a los puntos de unión: estudia la continuidad y derivabilidad en ellos de forma rigurosa.
- ★Memoriza las tablas de derivadas e integrales básicas, así como las reglas de derivación (cadena, producto, cociente) y de integración.
- ★Cuando uses la Regla de Barrow, escribe claramente la primitiva F(x) y luego evalúa F(b) - F(a) paso a paso, prestando atención a los signos.
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