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Análisis & Álgebra

Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales

1º Bachillerato · 2º Bachillerato

  • ✓Definir matrices, identificar sus tipos y realizar operaciones básicas con ellas (suma, producto por escalar, producto de matrices, transposición).
  • ✓Calcular determinantes de matrices de orden 2 y 3, y aplicar sus propiedades para simplificar cálculos.
  • ✓Determinar la existencia y calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada utilizando el método de la adjunta.
  • ✓Representar sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial y discutir su compatibilidad y número de soluciones mediante el Teorema de Rouché-Frobenius.
  • ✓Resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados utilizando la Regla de Cramer o la matriz inversa.

Key concepts

Matriz

Una matriz es una tabla rectangular de números reales ordenados en filas y columnas. Se denota por letras mayúsculas (A, B, ...). Cada elemento se denota por a_ij, donde 'i' es el número de fila y 'j' el número de columna. El orden o dimensión de una matriz es m x n, donde 'm' es el número de filas y 'n' el número de columnas.\n\nTipos de matrices:\n- Matriz fila: Una sola fila (1 x n).\n- Matriz columna: Una sola columna (m x 1).\n- Matriz cuadrada: Número de filas igual al número de columnas (n x n).\n- Matriz nula: Todos sus elementos son cero.\n- Matriz identidad (I): Matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella.\n- Matriz transpuesta (Aᵀ): Se obtiene intercambiando filas por columnas de la matriz original.

Operaciones con Matrices

1. Suma y Resta: Solo se pueden sumar o restar matrices del mismo orden. Se suman o restan los elementos correspondientes.\n2. Producto por un escalar: Se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar.\n3. Producto de matrices: Para multiplicar A (m x n) por B (n x p), el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. La matriz resultante C tendrá orden (m x p). El elemento c_ij se obtiene multiplicando la fila 'i' de A por la columna 'j' de B (suma de productos de elementos correspondientes).\n - El producto de matrices NO es conmutativo (A·B ≠ B·A, en general).

Si A = (a_ij) y B = (b_ij), entonces (A+B)_ij = a_ij + b_ij.\nSi k es un escalar, (k·A)_ij = k·a_ij.\nSi C = A·B, entonces c_ij = Σ(a_ik · b_kj) para k=1 a n.
Determinante de una Matriz

Es un número real asociado a una matriz cuadrada. Se denota por det(A) o |A|. Solo existe para matrices cuadradas.\n\n- Para una matriz 2x2: A = [[a, b], [c, d]], det(A) = ad - bc.\n- Para una matriz 3x3 (Regla de Sarrus): A = [[a11, a12, a13], [a21, a22, a23], [a31, a32, a33]], det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33).\n\n- Menor complementario (M_ij): Determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila 'i' y la columna 'j'.\n- Adjunto (A_ij): A_ij = (-1)^(i+j) · M_ij.\n- Cálculo por adjuntos: El determinante de una matriz se puede calcular sumando los productos de los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos adjuntos.

Para A de orden n, det(A) = Σ(a_ij · A_ij) para j=1 a n (desarrollo por la fila i).
Propiedades de los Determinantes

1. det(A) = det(Aᵀ).\n2. Si una matriz tiene una fila o columna de ceros, su determinante es cero.\n3. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, su determinante es cero.\n4. Si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.\n5. Si se multiplica una fila o columna por un escalar 'k', el determinante queda multiplicado por 'k'.\n6. det(k·A) = kⁿ · det(A), donde 'n' es el orden de la matriz.\n7. Si a una fila (o columna) se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un número, el determinante no varía.\n8. det(A·B) = det(A) · det(B).

Matriz Inversa

Una matriz cuadrada A tiene inversa (A⁻¹) si y solo si su determinante es distinto de cero (det(A) ≠ 0). La matriz inversa cumple que A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I (matriz identidad).\n\nPara calcular la inversa de una matriz A:\n1. Calcular el determinante de A. Si det(A) = 0, no existe inversa.\n2. Calcular la matriz de adjuntos de A (Adj(A)), donde cada elemento es el adjunto A_ij.\n3. Calcular la matriz adjunta transpuesta ((Adj(A))ᵀ).\n4. La inversa es A⁻¹ = (1/det(A)) · (Adj(A))ᵀ.

A⁻¹ = (1/det(A)) · (Adj(A))ᵀ
Rango de una Matriz

El rango de una matriz es el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Se denota por rango(A) o rg(A).\n\nPara calcular el rango:\n- El rango es el orden del mayor menor (subdeterminante) no nulo que se puede extraer de la matriz.\n- Si det(A) ≠ 0 para una matriz cuadrada de orden n, entonces rango(A) = n.\n- Si det(A) = 0, el rango es menor que n. Se buscan menores de orden n-1, n-2, etc., hasta encontrar uno no nulo.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de 'm' ecuaciones lineales con 'n' incógnitas puede representarse en forma matricial como A·X = B, donde:\n- A es la matriz de coeficientes (m x n).\n- X es la matriz columna de incógnitas (n x 1).\n- B es la matriz columna de términos independientes (m x 1).\n\nLa matriz ampliada del sistema es A* = (A | B), que se forma añadiendo la columna B a la matriz A.

A·X = B
Teorema de Rouché-Frobenius

Este teorema permite discutir la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales sin necesidad de resolverlo:\n\n1. **Sistema Incompatible (SI)**: No tiene solución.\n - Condición: rango(A) ≠ rango(A*).\n\n2. **Sistema Compatible (SC)**: Tiene al menos una solución.\n - Condición: rango(A) = rango(A*).\n - Dentro de los sistemas compatibles, distinguimos:\n a. **Sistema Compatible Determinado (SCD)**: Tiene una única solución.\n - Condición: rango(A) = rango(A*) = número de incógnitas.\n b. **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**: Tiene infinitas soluciones.\n - Condición: rango(A) = rango(A*) < número de incógnitas.

Resolución de Sistemas Lineales

1. **Regla de Cramer**: Aplicable solo a Sistemas Compatibles Determinados (SCD) donde la matriz de coeficientes A es cuadrada y det(A) ≠ 0.\n - Cada incógnita x_j se obtiene dividiendo el determinante de la matriz que resulta de sustituir la columna 'j' de A por la columna B, entre el determinante de A.\n\n2. **Método de la Matriz Inversa**: Aplicable a Sistemas Compatibles Determinados (SCD) donde la matriz de coeficientes A es cuadrada y det(A) ≠ 0.\n - Si A·X = B, entonces X = A⁻¹·B.\n\n3. **Método de Gauss (o Gauss-Jordan)**: Es un método general que permite resolver cualquier tipo de sistema lineal (SCD, SCI, SI) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada.

Regla de Cramer: x_j = det(A_j) / det(A)\nMétodo de la Matriz Inversa: X = A⁻¹·B

Key facts to remember

  • 1Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero (det(A) ≠ 0).
  • 2El producto de matrices no es conmutativo (A·B ≠ B·A, en general).
  • 3El determinante del producto de dos matrices es el producto de sus determinantes: det(A·B) = det(A) · det(B).
  • 4El Teorema de Rouché-Frobenius relaciona los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*) con la compatibilidad y el número de soluciones de un sistema lineal.
  • 5La Regla de Cramer y el método de la matriz inversa solo son aplicables a sistemas compatibles determinados con matriz de coeficientes cuadrada y determinante no nulo.
  • 6La fórmula para la matriz inversa es A⁻¹ = (1/det(A)) · (Adj(A))ᵀ.

Worked examples

Example 1

Dadas las matrices A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[-1, 0], [2, 5]], calcula:\na) A + B\nb) 3A\nc) A · B\nd) Aᵀ

Ia) Suma de matrices: Se suman los elementos correspondientes.
IIA + B = [[1+(-1), 2+0], [3+2, 4+5]] = [[0, 2], [5, 9]]
IIIb) Producto por un escalar: Se multiplica cada elemento de A por 3.
IV3A = [[3·1, 3·2], [3·3, 3·4]] = [[3, 6], [9, 12]]
Vc) Producto de matrices: (A es 2x2, B es 2x2, el resultado será 2x2).
VIA · B = [[(1·(-1) + 2·2), (1·0 + 2·5)], [(3·(-1) + 4·2), (3·0 + 4·5)]]
VIIA · B = [[(-1 + 4), (0 + 10)], [(-3 + 8), (0 + 20)]] = [[3, 10], [5, 20]]
VIIId) Matriz transpuesta: Se intercambian filas por columnas.
9Aᵀ = [[1, 3], [2, 4]]

Answer

a) A + B = [[0, 2], [5, 9]]\nb) 3A = [[3, 6], [9, 12]]\nc) A · B = [[3, 10], [5, 20]]\nd) Aᵀ = [[1, 3], [2, 4]]

Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. En este caso, B·A sería diferente.

Example 2

Dada la matriz A = [[1, 2, 0], [-1, 1, 3], [0, 1, 1]], calcula su determinante y, si existe, su matriz inversa.

I1. Calcular el determinante de A usando la Regla de Sarrus:
IIdet(A) = (1·1·1 + 2·3·0 + 0·(-1)·1) - (0·1·0 + 1·3·1 + 2·(-1)·1)
IIIdet(A) = (1 + 0 + 0) - (0 + 3 - 2)
IVdet(A) = 1 - 1 = 0
V2. Como det(A) = 0, la matriz A no tiene inversa.
VINo es necesario continuar con el cálculo de la adjunta.

Answer

det(A) = 0. Por lo tanto, la matriz A no tiene inversa.

Si el determinante hubiera sido distinto de cero, el siguiente paso sería calcular la matriz de adjuntos, transponerla y dividir por el determinante.

Example 3

Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro 'a':\nx + y + z = 1\nx + 2y + 3z = 4\nx + 3y + az = a²

I1. Escribir el sistema en forma matricial y obtener la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*):
IIA = [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [1, 3, a]]
IIIA* = [[1, 1, 1, 1], [1, 2, 3, 4], [1, 3, a, a²]]
IV2. Calcular el determinante de la matriz de coeficientes A para estudiar su rango:
Vdet(A) = (1·2·a + 1·3·1 + 1·1·3) - (1·2·1 + 1·3·3 + 1·1·a)
VIdet(A) = (2a + 3 + 3) - (2 + 9 + a)
VIIdet(A) = 2a + 6 - 11 - a = a - 5
VIII3. Analizar los casos según el valor de det(A):
9Caso 1: Si det(A) ≠ 0, es decir, si a - 5 ≠ 0 => a ≠ 5.
10 En este caso, rango(A) = 3 (número de incógnitas).
11 Como A es una submatriz de A*, rango(A*) también será 3.
12 Por el Teorema de Rouché-Frobenius, rango(A) = rango(A*) = 3 = número de incógnitas.
13 El sistema es Compatible Determinado (SCD). Tiene una única solución.
14 Resolución para a ≠ 5 (usando Cramer):
15 det(A_x) = det([[1, 1, 1], [4, 2, 3], [a², 3, a]]) = (1·2·a + 1·3·a² + 1·4·3) - (1·2·a² + 1·3·3 + 1·4·a)
16 det(A_x) = (2a + 3a² + 12) - (2a² + 9 + 4a) = a² - 2a + 3
17 x = det(A_x) / det(A) = (a² - 2a + 3) / (a - 5)
18 det(A_y) = det([[1, 1, 1], [1, 4, 3], [1, a², a]]) = (1·4·a + 1·3·1 + 1·1·a²) - (1·4·1 + 1·3·a² + 1·1·a)
19 det(A_y) = (4a + 3 + a²) - (4 + 3a² + a) = -2a² + 3a - 1
20 y = det(A_y) / det(A) = (-2a² + 3a - 1) / (a - 5)
21 det(A_z) = det([[1, 1, 1], [1, 2, 4], [1, 3, a²]]) = (1·2·a² + 1·4·1 + 1·1·3) - (1·2·1 + 1·4·3 + 1·1·a²)
22 det(A_z) = (2a² + 4 + 3) - (2 + 12 + a²) = a² - 7
23 z = det(A_z) / det(A) = (a² - 7) / (a - 5)
24Caso 2: Si det(A) = 0, es decir, si a = 5.
25 En este caso, rango(A) < 3. Calculamos el rango de A y A*.
26 Para a = 5:
27 A = [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [1, 3, 5]]
28 A* = [[1, 1, 1, 1], [1, 2, 3, 4], [1, 3, 5, 25]]
29 El menor de orden 2 [[1, 1], [1, 2]] tiene determinante 1·2 - 1·1 = 1 ≠ 0. Por lo tanto, rango(A) ≥ 2.
30 Como det(A) = 0, rango(A) = 2.
31 Ahora calculamos el rango de A*. Consideramos los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos independientes:
32 M1 = det([[1, 1, 1], [1, 2, 4], [1, 3, 25]]) (sustituyendo la 3ª columna de A por B)
33 M1 = (1·2·25 + 1·4·1 + 1·1·3) - (1·2·1 + 1·4·3 + 1·1·25)
34 M1 = (50 + 4 + 3) - (2 + 12 + 25) = 57 - 39 = 18 ≠ 0.
35 Como existe un menor de orden 3 en A* que es no nulo, rango(A*) = 3.
36 Por el Teorema de Rouché-Frobenius, rango(A) = 2 ≠ rango(A*) = 3.
37 El sistema es Incompatible (SI). No tiene solución.
38Resumen de la discusión:

Answer

Si a ≠ 5: Sistema Compatible Determinado (SCD). Solución única:\nx = (a² - 2a + 3) / (a - 5)\ny = (-2a² + 3a - 1) / (a - 5)\nz = (a² - 7) / (a - 5)\n\nSi a = 5: Sistema Incompatible (SI). No tiene solución.

Es crucial calcular correctamente el determinante de A para establecer los casos. Cuando det(A)=0, se debe estudiar el rango de A y A* por separado.

Common mistakes

  • ✗Confundir el orden de las matrices al multiplicarlas o no verificar si el producto es posible.
  • ✗Errores de signo al aplicar la Regla de Sarrus o al calcular los adjuntos de una matriz.
  • ✗Olvidar transponer la matriz de adjuntos al calcular la inversa ((Adj(A))ᵀ en lugar de Adj(A)).
  • ✗Aplicar la Regla de Cramer o el método de la matriz inversa cuando el determinante de la matriz de coeficientes es cero.
  • ✗No distinguir correctamente entre rango(A) y rango(A*) al aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius, especialmente en sistemas con parámetros.
  • ✗Errores aritméticos al operar con fracciones o expresiones algebraicas en las soluciones de sistemas con parámetros.

Exam tips

  • ★Antes de empezar a resolver un sistema con parámetros, calcula el determinante de la matriz de coeficientes para identificar los casos críticos.
  • ★Para calcular el rango de una matriz, busca el menor de mayor orden cuyo determinante sea no nulo. Si es una matriz cuadrada, empieza por su propio determinante.
  • ★Cuando calcules la inversa, verifica tu resultado multiplicando A·A⁻¹ o A⁻¹·A; el resultado debe ser la matriz identidad I.
  • ★En problemas con parámetros, organiza tu respuesta claramente, discutiendo cada caso (det(A) ≠ 0, det(A) = 0) por separado y aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius de forma explícita.
  • ★Si un sistema es compatible indeterminado, recuerda expresar las infinitas soluciones en función de uno o más parámetros.

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