Raum & Form, Daten & Zufall

Satz des Pythagoras und Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Klasse 8 · Klasse 9 · Klasse 10

✓By the end of this lesson students will be able to apply the Satz des Pythagoras to calculate unknown side lengths in a right-angled triangle.
✓By the end of this lesson students will be able to identify and correctly name the Hypotenuse, Ankathete, and Gegenkathete relative to a given acute angle in a right-angled triangle.
✓By the end of this lesson students will be able to define and apply the trigonometric ratios (Sinus, Kosinus, Tangens) to solve for unknown side lengths or angles.
✓By the end of this lesson students will be able to solve practical problems involving right-angled triangles using a combination of the Satz des Pythagoras and trigonometric functions.

Key concepts

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen Winkel von genau 90° (einen rechten Winkel) besitzt. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird als Hypotenuse bezeichnet. Die beiden anderen Seiten, die den rechten Winkel bilden, sind die Katheten.

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. Wenn 'a' und 'b' die Längen der Katheten sind und 'c' die Länge der Hypotenuse, dann gilt:

a² + b² = c²

Trigonometrische Verhältnisse

Die trigonometrischen Verhältnisse (Sinus, Kosinus, Tangens) beschreiben die Beziehungen zwischen den Winkeln und den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. Für einen spitzen Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck werden die Seiten wie folgt benannt:

Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Ankathete (adjacent leg) ist die Kathete, die an den Winkel α angrenzt (aber nicht die Hypotenuse ist). Die Gegenkathete (opposite leg) ist die Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt.

Sinus (sin)

Der Sinus eines Winkels α ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse.

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse

Kosinus (cos)

Der Kosinus eines Winkels α ist das Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Hypotenuse.

cos(α) = Ankathete / Hypotenuse

Tangens (tan)

Der Tangens eines Winkels α ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Ankathete.

tan(α) = Gegenkathete / Ankathete

Key facts to remember

1Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke: a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse ist.
2Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber.
3Die trigonometrischen Verhältnisse sind: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse, cos(α) = Ankathete / Hypotenuse, tan(α) = Gegenkathete / Ankathete.
4Um einen Winkel zu berechnen, wenn die Seitenlängen bekannt sind, verwende die Umkehrfunktionen: arcsin (sin⁻¹), arccos (cos⁻¹), arctan (tan⁻¹).
5Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt 180°.
6Die beiden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck sind Komplementärwinkel (ihre Summe ist 90°).

Worked examples

Example 1

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten der Längen 6 cm und 8 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.

IIdentifiziere die gegebenen Katheten: a = 6 cm, b = 8 cm. Die gesuchte Größe ist die Hypotenuse c.

IIWende den Satz des Pythagoras an: a² + b² = c².

IIISetze die gegebenen Werte ein: 6² + 8² = c².

IVBerechne die Quadrate: 36 + 64 = c².

VAddiere die Werte: 100 = c².

VIZiehe die Quadratwurzel, um c zu finden: c = √100.

Answer

c = 10 cm

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Example 2

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α = 35° und die Hypotenuse c = 12 m. Berechne die Länge der Gegenkathete a.

IIdentifiziere die gegebenen Größen: Winkel α = 35°, Hypotenuse c = 12 m. Die gesuchte Größe ist die Gegenkathete a.

IIWähle das passende trigonometrische Verhältnis, das Gegenkathete und Hypotenuse verbindet: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse.

IIISetze die Werte in die Formel ein: sin(35°) = a / 12.

IVLöse die Gleichung nach a auf: a = 12 * sin(35°).

VBerechne den Wert mit einem Taschenrechner (im DEG-Modus): a ≈ 12 * 0,5736.

VIRunde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Answer

a ≈ 6,88 m

Stelle sicher, dass dein Taschenrechner im 'DEG' (Degree)-Modus ist, wenn du mit Gradmaßen rechnest.

Example 3

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Ankathete von 7 cm und eine Gegenkathete von 10 cm zu einem Winkel β. Berechne den Winkel β und die Länge der Hypotenuse c.

I**Berechnung des Winkels β:**

IIIdentifiziere die gegebenen Größen: Ankathete = 7 cm, Gegenkathete = 10 cm zum Winkel β.

IIIWähle das passende trigonometrische Verhältnis, das Ankathete und Gegenkathete verbindet: tan(β) = Gegenkathete / Ankathete.

IVSetze die Werte ein: tan(β) = 10 / 7.

VBerechne den Wert des Verhältnisses: tan(β) ≈ 1,4286.

VIVerwende die Umkehrfunktion des Tangens (arctan oder tan⁻¹) um β zu finden: β = arctan(1,4286).

VIIRunde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen: β ≈ 54,99°.

VIII**Berechnung der Hypotenuse c:**

9Wende den Satz des Pythagoras an: (Ankathete)² + (Gegenkathete)² = c².

10Setze die Werte ein: 7² + 10² = c².

11Berechne die Quadrate: 49 + 100 = c².

12Addiere die Werte: 149 = c².

13Ziehe die Quadratwurzel, um c zu finden: c = √149.

14Runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Answer

β ≈ 54,99°, c ≈ 12,21 cm

Du kannst die Hypotenuse auch mit Sinus oder Kosinus berechnen, sobald du den Winkel β kennst. Zum Beispiel: sin(β) = Gegenkathete / Hypotenuse => Hypotenuse = Gegenkathete / sin(β).

Common mistakes

✗Verwechseln der Hypotenuse mit einer Kathete beim Anwenden des Satzes des Pythagoras.
✗Falsche Zuordnung der Gegenkathete und Ankathete zu einem bestimmten Winkel im Dreieck.
✗Verwenden des falschen trigonometrischen Verhältnisses (z.B. Sinus statt Kosinus) für die gegebene Problemstellung.
✗Vergessen, die Umkehrfunktion (arcsin, arccos, arctan) zu verwenden, wenn ein Winkel berechnet werden soll.
✗Rundungsfehler bei Zwischenschritten, die zu ungenauen Endergebnissen führen können. Runde erst am Ende der Berechnung.
✗Vergessen, den Taschenrechner in den 'DEG' (Degree)-Modus zu schalten, wenn Winkel in Grad angegeben sind.

Exam tips

★Skizziere das Dreieck immer und beschrifte alle bekannten und unbekannten Seiten und Winkel sorgfältig. Dies hilft dir, die Beziehungen zu visualisieren.
★Überprüfe immer zuerst, ob das Dreieck rechtwinklig ist, bevor du den Satz des Pythagoras oder die trigonometrischen Verhältnisse anwendest.
★Wähle die passende Formel (Pythagoras, Sinus, Kosinus oder Tangens) basierend auf den Informationen, die du hast, und dem, was du berechnen möchtest.
★Schreibe deine Schritte klar und deutlich auf, auch wenn du einen Taschenrechner benutzt. Dies hilft, Fehler zu vermeiden und Teilpunkte zu erhalten.

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