Zahl

Proportionalität und Prozente

Klasse 5 · Klasse 6 · Klasse 7

✓By the end of this lesson students will be able to identify and understand direct proportionality.
✓By the end of this lesson students will be able to apply the Dreisatz (rule of three) to solve problems involving direct proportionality.
✓By the end of this lesson students will be able to understand percentages as a special type of fraction (parts per hundred).
✓By the end of this lesson students will be able to calculate the percentage of a given value (Prozentwert).
✓By the end of this lesson students will be able to solve practical problems involving percentages, including finding the Prozentsatz.

Key concepts

Direkte Proportionalität

Two quantities are directly proportional if they increase or decrease in the same ratio. This means that if one quantity is multiplied by a factor, the other quantity is also multiplied by the same factor. The ratio of the two quantities remains constant.

y = k · x (wobei k der Proportionalitätsfaktor ist)

Dreisatz

The 'Dreisatz' (rule of three) is a method used to solve problems involving direct proportionality. It involves three known values to find a fourth unknown value. The typical approach is to first calculate the value for a single unit, and then scale it up to the desired number of units.

Prozente

A percentage (Prozent) is a way of expressing a number as a fraction of 100. The word 'Prozent' means 'per hundred'. It is denoted by the percent sign (%). For example, 25 % means 25 out of 100.

p % = p/100

Grundwert (G)

The Grundwert is the total amount or the original value, which represents 100 %.

Prozentsatz (p %)

The Prozentsatz is the percentage rate, indicated by the number with the percent sign (%). It tells us how many parts per hundred are being considered from the Grundwert.

Prozentwert (W)

The Prozentwert is the part of the Grundwert that corresponds to the given Prozentsatz. It is the actual value calculated from the percentage.

W = (p/100) · G

Key facts to remember

1Direkte Proportionalität bedeutet, dass das Verhältnis zweier Größen konstant ist.
2Der Dreisatz ist eine Methode, um bei direkter Proportionalität einen unbekannten Wert zu finden, indem man zuerst den Wert für eine Einheit berechnet.
3Prozente sind spezielle Brüche mit dem Nenner 100 (z.B. 7 % = 7/100).
4Der Grundwert (100 %) ist das Ganze oder der Ausgangswert.
5Um einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilt man durch 100 (z.B. 40 % = 0,40).
6Um eine Dezimalzahl in einen Prozentsatz umzuwandeln, multipliziert man mit 100 (z.B. 0,75 = 75 %).
7Der Prozentwert ist der Teil des Grundwertes, der dem Prozentsatz entspricht.

Worked examples

Example 1

Wenn 4 kg Äpfel 6,00 € kosten, wie viel kosten dann 7 kg Äpfel?

I1. Schritt: Gegebene Werte notieren.

II 4 kg Äpfel → 6,00 €

III2. Schritt: Preis für 1 kg Äpfel berechnen (durch 4 teilen).

IV 1 kg Äpfel → 6,00 € : 4 = 1,50 €

V3. Schritt: Preis für 7 kg Äpfel berechnen (mit 7 multiplizieren).

VI 7 kg Äpfel → 1,50 € · 7 = 10,50 €

Answer

7 kg Äpfel kosten 10,50 €.

This is a classic Dreisatz problem. Always find the value for one unit first.

Example 2

Berechne 35 % von 180 €.

I1. Schritt: Prozentsatz als Bruch oder Dezimalzahl schreiben.

II 35 % = 35/100 = 0,35

III2. Schritt: Prozentsatz mit dem Grundwert multiplizieren.

IV 0,35 · 180 € = 63 €

Answer

35 % von 180 € sind 63 €.

Example 3

In einer Klasse mit 20 Schülern haben 12 Schüler ein Haustier. Wie viel Prozent der Schüler haben ein Haustier?

I1. Schritt: Den Anteil der Schüler mit Haustier als Bruch schreiben.

II Anteil = 12/20

III2. Schritt: Den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln.

IV 12/20 = 0,6

V3. Schritt: Die Dezimalzahl in einen Prozentsatz umwandeln (mit 100 multiplizieren).

VI 0,6 · 100 % = 60 %

Answer

60 % der Schüler haben ein Haustier.

Here, 20 is the Grundwert and 12 is the Prozentwert. We are looking for the Prozentsatz.

Common mistakes

✗Verwechslung von direkter und indirekter Proportionalität (obwohl indirekte Proportionalität in dieser Klassenstufe oft noch nicht behandelt wird).
✗Fehler beim Aufstellen des Dreisatzes, insbesondere das Vertauschen von Multiplikation und Division.
✗Vergessen, den Prozentsatz vor der Berechnung in einen Bruch oder eine Dezimalzahl umzuwandeln (z.B. 20 · 50 anstatt 0,20 · 50).
✗Falsche Identifizierung des Grundwerts oder des Prozentwerts in einer Textaufgabe.
✗Berechnungsfehler bei der Umrechnung zwischen Prozent, Bruch und Dezimalzahl.

Exam tips

★Schreibe alle gegebenen Informationen und die gesuchte Größe klar auf.
★Zeige bei Dreisatz- und Prozentaufgaben immer alle Rechenschritte deutlich auf.
★Prüfe, ob dein Ergebnis im Kontext der Aufgabe sinnvoll ist (z.B. kann der Prozentwert nicht größer als der Grundwert sein, wenn der Prozentsatz unter 100 % liegt).
★Merke dir die Formel für den Prozentwert: Prozentwert = (Prozentsatz / 100) · Grundwert.

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