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Analytische Geometrie & Stochastik

Analytische Geometrie: Vektoren, Geraden, Ebenen und Skalarprodukt

Klasse 11 · Klasse 12 · Klasse 13

  • ✓By the end of this lesson students will be able to define and represent vectors, including Ortsvektoren and Verbindungsvektoren.
  • ✓By the end of this lesson students will be able to perform vector operations such as addition, subtraction, and Skalarmultiplikation.
  • ✓By the end of this lesson students will be able to determine equations of lines (Geradengleichungen) and planes (Ebenengleichungen) in Parameterform.
  • ✓By the end of this lesson students will be able to calculate the Skalarprodukt (scalar product) of two vectors.
  • ✓By the end of this lesson students will be able to use the Skalarprodukt to determine Orthogonalität (orthogonality) and calculate the angle between two vectors.

Key concepts

Vektor (Vector)

A vector is a mathematical object that has both magnitude (length) and direction. It is often represented as an arrow in space. In 3D space, a vector a⃗\vec{a} can be written as a column vector with three components: (a1 a2 a3)\begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix}. The magnitude (Betrag) of a vector a⃗\vec{a} is its length.

∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}
Ortsvektor (Position Vector)

An Ortsvektor is a vector that starts at the origin O(0|0|0) and points to a specific point P(p_1|p_2|p_3). It is denoted as OP⃗\vec{OP} or simply p⃗\vec{p}.

p⃗=(p1p2p3)\vec{p} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}
Verbindungsvektor (Displacement Vector)

A Verbindungsvektor connects two points, A and B. It is calculated by subtracting the Ortsvektor of the starting point A from the Ortsvektor of the end point B.

AB⃗=B⃗−A⃗=(b1−a1b2−a2b3−a3)\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix}
Vektoraddition und -subtraktion (Vector Addition and Subtraction)

Vectors are added or subtracted component-wise. For example, to add two vectors, you add their corresponding components.

a⃗±b⃗=(a1a2a3)±(b1b2b3)=(a1±b1a2±b2a3±b3)\vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{pmatrix}
Skalarmultiplikation (Scalar Multiplication)

Multiplying a vector by a scalar (a real number) scales its magnitude. Each component of the vector is multiplied by the scalar.

k⋅a⃗=k⋅(a1a2a3)=(k⋅a1k⋅a2k⋅a3)k \cdot \vec{a} = k \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \\ k \cdot a_3 \end{pmatrix}
Geradengleichung in Parameterform (Equation of a Line in Parametric Form)

A line in 3D space is uniquely defined by a point it passes through (Stützvektor p⃗\vec{p}) and a direction vector (Richtungsvektor u⃗\vec{u}). The parameter tt scales the direction vector, allowing any point on the line to be reached.

g:x⃗=p⃗+t⋅u⃗g: \vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{u}, t∈Rt \in \mathbb{R}
Ebenengleichung in Parameterform (Equation of a Plane in Parametric Form)

A plane in 3D space is uniquely defined by a point it passes through (Stützvektor p⃗\vec{p}) and two non-collinear direction vectors (Richtungsvektoren u⃗\vec{u} and v⃗\vec{v}). The parameters rr and ss scale the direction vectors, allowing any point on the plane to be reached.

E:x⃗=p⃗+r⋅u⃗+s⋅v⃗E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}, r,s∈Rr, s \in \mathbb{R}
Skalarprodukt (Scalar Product / Dot Product)

The Skalarprodukt of two vectors a⃗\vec{a} and b⃗\vec{b} is a scalar value. It can be calculated component-wise or using the magnitudes of the vectors and the cosine of the angle between them. It is a fundamental tool for determining angles and orthogonality.

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 or a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡(α)\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)
Orthogonalität (Orthogonality)

Two vectors are orthogonal (perpendicular) if the angle between them is 90°. This occurs if and only if their Skalarprodukt is zero.

a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
Winkel zwischen zwei Vektoren (Angle between two vectors)

The angle α\alpha between two non-zero vectors a⃗\vec{a} and b⃗\vec{b} can be calculated using the Skalarprodukt formula. Rearranging the formula gives the cosine of the angle.

cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Key facts to remember

  • 1Ein Vektor hat Betrag (Länge) und Richtung.
  • 2Der Ortsvektor eines Punktes P ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P.
  • 3Die Geradengleichung in Parameterform benötigt einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.
  • 4Die Ebenengleichung in Parameterform benötigt einen Stützvektor und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren.
  • 5Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist Null, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander sind.
  • 6Der Betrag eines Vektors ist seine Länge und wird mit der Formel ∣a⃗∣=a12+a22+a32|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} berechnet.
  • 7Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann mithilfe des Skalarprodukts und der Beträge der Vektoren bestimmt werden.

Worked examples

Example 1

Gegeben sind die Punkte A(1|2|3), B(4|-1|5) und C(2|0|1). Berechnen Sie den Verbindungsvektor AB⃗\vec{AB}, seinen Betrag ∣AB⃗∣|\vec{AB}| und den Vektor 2AC⃗−BC⃗2\vec{AC} - \vec{BC}.

I1. Verbindungsvektor AB⃗\vec{AB} berechnen:
II AB⃗=B⃗−A⃗=(4−15)−(123)=(4−1−1−25−3)=(3−32)\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ -1-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}
III2. Betrag ∣AB⃗∣|\vec{AB}| berechnen:
IV ∣AB⃗∣=32+(−3)2+22=9+9+4=22|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 9 + 4} = \sqrt{22}
V3. Vektoren AC⃗\vec{AC} und BC⃗\vec{BC} berechnen:
VI AC⃗=C⃗−A⃗=(201)−(123)=(1−2−2)\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}
VII BC⃗=C⃗−B⃗=(201)−(4−15)=(−21−4)\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}
VIII4. Vektor 2AC⃗−BC⃗2\vec{AC} - \vec{BC} berechnen:
9 2AC⃗−BC⃗=2⋅(1−2−2)−(−21−4)=(2−4−4)−(−21−4)=(2−(−2)−4−1−4−(−4))=(4−50)2\vec{AC} - \vec{BC} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-2) \\ -4 - 1 \\ -4 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}

Answer

AB⃗=(3−32)\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, ∣AB⃗∣=22|\vec{AB}| = \sqrt{22}, 2AC⃗−BC⃗=(4−50)2\vec{AC} - \vec{BC} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}

Achten Sie darauf, Vorzeichenfehler bei der Subtraktion zu vermeiden.

Example 2

Bestimmen Sie die Geradengleichung in Parameterform durch die Punkte P(1|0|2) und Q(3|4|0). Prüfen Sie, ob der Punkt R(0|-2|3) auf dieser Geraden liegt.

I1. Stützvektor p⃗\vec{p} wählen (z.B. Ortsvektor von P):
II p⃗=(102)\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
III2. Richtungsvektor u⃗\vec{u} berechnen (Verbindungsvektor PQ⃗\vec{PQ}):
IV u⃗=Q⃗−P⃗=(340)−(102)=(24−2)\vec{u} = \vec{Q} - \vec{P} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}
V3. Geradengleichung aufstellen:
VI g:x⃗=(102)+t⋅(24−2)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}, t∈Rt \in \mathbb{R}
VII4. Prüfen, ob Punkt R auf der Geraden liegt, indem man R⃗\vec{R} in die Geradengleichung einsetzt und nach tt auflöst:
VIII (0−23)=(102)+t⋅(24−2)\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}
9 Dies führt zu einem System von Gleichungen:
10 I) 0=1+2t  ⟹  2t=−1  ⟹  t=−0,50 = 1 + 2t \implies 2t = -1 \implies t = -0,5
11 II) −2=0+4t  ⟹  4t=−2  ⟹  t=−0,5-2 = 0 + 4t \implies 4t = -2 \implies t = -0,5
12 III) 3=2−2t  ⟹  2t=−1  ⟹  t=−0,53 = 2 - 2t \implies 2t = -1 \implies t = -0,5
13 Da für alle drei Gleichungen derselbe Wert für tt gefunden wurde, liegt der Punkt R auf der Geraden.

Answer

Die Geradengleichung ist g:x⃗=(102)+t⋅(24−2)g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}. Der Punkt R(0|-2|3) liegt auf der Geraden.

Wenn die Werte für tt in den einzelnen Gleichungen unterschiedlich wären, würde der Punkt nicht auf der Geraden liegen.

Example 3

Gegeben sind die Vektoren a⃗=(2−13)\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} und b⃗=(120)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}. Berechnen Sie das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} und den Winkel α\alpha zwischen den Vektoren. Sind die Vektoren orthogonal?

I1. Skalarprodukt a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b} berechnen:
II a⃗⋅b⃗=(2)(1)+(−1)(2)+(3)(0)=2−2+0=0\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0
III2. Beträge der Vektoren berechnen:
IV ∣a⃗∣=22+(−1)2+32=4+1+9=14|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}
V ∣b⃗∣=12+22+02=1+4+0=5|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5}
VI3. Winkel α\alpha zwischen den Vektoren berechnen:
VII cos⁡(α)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=014⋅5=0\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{0}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{5}} = 0
VIII α=arccos⁡(0)=90°\alpha = \arccos(0) = 90°
94. Orthogonalität prüfen:
10 Da das Skalarprodukt a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 ist, sind die Vektoren orthogonal.

Answer

Das Skalarprodukt ist a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0. Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt α=90°\alpha = 90°. Die Vektoren sind orthogonal.

Ein Skalarprodukt von Null ist ein direkter Beweis für Orthogonalität.

Common mistakes

  • ✗Verwechslung von Punkten (Koordinaten) mit Ortsvektoren (Komponenten).
  • ✗Fehler bei der Berechnung des Betrags eines Vektors, z.B. Vergessen der Wurzel oder falsche Quadrierung von negativen Zahlen.
  • ✗Annahme, dass ein Punkt auf einer Geraden oder Ebene liegt, wenn nur eine der Komponenten-Gleichungen für den Parameter tt (oder r,sr, s) erfüllt ist.
  • ✗Fehler bei der Berechnung des Skalarprodukts, insbesondere bei negativen Komponenten.
  • ✗Vergessen, die Beträge der Vektoren im Nenner bei der Winkelberechnung zu verwenden.

Exam tips

  • ★Schreiben Sie immer die allgemeine Formel auf, bevor Sie Werte einsetzen.
  • ★Beschriften Sie Vektoren und Punkte klar, um Verwechslungen zu vermeiden.
  • ★Überprüfen Sie Ihre Berechnungen sorgfältig, insbesondere bei Skalarprodukten und Beträgen.
  • ★Wenn Sie prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden oder Ebene liegt, stellen Sie sicher, dass der/die Parameter für alle Komponenten konsistent ist/sind.
  • ★Nutzen Sie den Taschenrechner für Wurzeln und trigonometrische Funktionen, aber zeigen Sie die Zwischenschritte klar auf.

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