Analytische Geometrie & Stochastik

Binomialverteilung und Hypothesentests

Klasse 11 · Klasse 12 · Klasse 13

✓By the end of this lesson students will be able to identify situations that can be modeled by a binomial distribution and calculate associated probabilities.
✓By the end of this lesson students will be able to formulate null and alternative hypotheses for a given problem.
✓By the end of this lesson students will be able to conduct a one-sided hypothesis test using the binomial distribution, determine the rejection region, and interpret the results.
✓By the end of this lesson students will be able to explain the concepts of Type I and Type II errors and the significance level.

Key concepts

Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen: 'Erfolg' (mit Wahrscheinlichkeit p) und 'Misserfolg' (mit Wahrscheinlichkeit 1-p). Eine Bernoulli-Kette ist eine Abfolge von n unabhängigen Bernoulli-Experimenten, bei denen die Erfolgswahrscheinlichkeit p in jedem Versuch konstant bleibt.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge n zu erzielen. Die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Erfolge zählt, ist binomialverteilt, X ~ B(n; p).

P(X=k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Parameter der Binomialverteilung

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X ~ B(n; p) gelten folgende Formeln für den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung:

Erwartungswert E(X) = n * p\nVarianz Var(X) = n * p * (1-p)\nStandardabweichung σ(X) = sqrt(n * p * (1-p))

Hypothesentest (Signifikanztest)

Ein Hypothesentest ist ein statistisches Verfahren, um eine Behauptung (Hypothese) über einen unbekannten Parameter einer Grundgesamtheit (z.B. eine Wahrscheinlichkeit p) anhand einer Stichprobe zu überprüfen. Man unterscheidet zwischen der Nullhypothese (H0) und der Alternativhypothese (H1).

Nullhypothese (H0) und Alternativhypothese (H1)

Die Nullhypothese (H0) ist die zu überprüfende Annahme, oft der 'Status quo' oder eine spezifische Behauptung (z.B. p = p0). Die Alternativhypothese (H1) ist die Gegenbehauptung, die angenommen wird, wenn H0 verworfen wird (z.B. p < p0, p > p0 oder p ≠ p0).

Signifikanzniveau (α)

Das Signifikanzniveau α (Alpha) ist die maximal tolerierte Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen, obwohl sie wahr ist (Fehler 1. Art). Typische Werte sind 0,05 (5%), 0,01 (1%) oder 0,10 (10%).

Annahmebereich und Ablehnungsbereich

Der Annahmebereich ist der Wertebereich für die Teststatistik (Anzahl der Erfolge in der Stichprobe), für den die Nullhypothese nicht verworfen wird. Der Ablehnungsbereich (auch kritischer Bereich genannt) ist der Wertebereich, für den die Nullhypothese verworfen wird. Die Grenze(n) zwischen diesen Bereichen werden so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art maximal α ist.

Fehler 1. Art und Fehler 2. Art

Ein Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie wahr ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist das Signifikanzniveau α. Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl die Alternativhypothese wahr ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür wird mit β (Beta) bezeichnet.

Key facts to remember

1Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.
2Die Parameter der Binomialverteilung sind n (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit).
3Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen ist E(X) = n * p.
4Ein Hypothesentest dient dazu, eine Annahme (H0) über einen Parameter der Grundgesamtheit anhand einer Stichprobe zu überprüfen.
5Das Signifikanzniveau α ist die maximale Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen (Fehler 1. Art).
6Der Ablehnungsbereich ist der Wertebereich der Teststatistik, bei dem die Nullhypothese verworfen wird.
7Ein linksseitiger Test prüft, ob der Parameter signifikant kleiner ist, ein rechtsseitiger Test, ob er signifikant größer ist.

Worked examples

Example 1

Eine faire Münze wird 10 Mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau 7 Mal 'Kopf' erscheint und die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Mal 'Kopf' erscheint.

IIdentifiziere die Parameter der Binomialverteilung: n = 10 (Anzahl der Würfe), p = 0,5 (Wahrscheinlichkeit für 'Kopf'). Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der Köpfe, X ~ B(10; 0,5).

IIBerechne P(X=7) mit der Binomialformel: P(X=7) = (10 über 7) * (0,5)^7 * (1-0,5)^(10-7)

IIIBerechne den Binomialkoeffizienten: (10 über 7) = 10! / (7! * (10-7)!) = 10! / (7! * 3!) = (10*9*8) / (3*2*1) = 120

IVSetze die Werte ein: P(X=7) = 120 * (0,5)^7 * (0,5)^3 = 120 * (0,5)^10 = 120 * 0,0009765625 = 0,1171875

VBerechne P(X<=3) mit der kumulativen Binomialverteilung (oder Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten): P(X<=3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

VIVerwende eine Tabelle oder einen Taschenrechner für die kumulative Binomialverteilung B(10; 0,5; k):

VIIP(X=0) = (10 über 0) * 0,5^0 * 0,5^10 = 1 * 1 * 0,0009765625 = 0,0009765625

VIIIP(X=1) = (10 über 1) * 0,5^1 * 0,5^9 = 10 * 0,0009765625 * 2 = 0,009765625

9P(X=2) = (10 über 2) * 0,5^2 * 0,5^8 = 45 * 0,0009765625 * 4 = 0,0439453125

10P(X=3) = (10 über 3) * 0,5^3 * 0,5^7 = 120 * 0,0009765625 * 8 = 0,1171875

11P(X<=3) = 0,0009765625 + 0,009765625 + 0,0439453125 + 0,1171875 = 0,171875

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 7 Mal 'Kopf' erscheint, beträgt ca. 0,1172. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 3 Mal 'Kopf' erscheint, beträgt ca. 0,1719.

Bei Abituraufgaben ist oft die Verwendung eines GTR (grafikfähiger Taschenrechner) oder einer Tabelle für kumulative Wahrscheinlichkeiten erlaubt und erwartet.

Example 2

Ein Hersteller von Glühbirnen behauptet, dass höchstens 5% seiner Glühbirnen defekt sind. Ein Kunde kauft 100 Glühbirnen und findet 9 defekte. Sollte der Kunde die Behauptung des Herstellers bei einem Signifikanzniveau von α = 0,05 anzweifeln?

I**1. Hypothesen formulieren:**

IINullhypothese H0: Der Anteil der defekten Glühbirnen ist höchstens 5%, d.h., p ≤ 0,05. (Für den Test nehmen wir den Grenzfall p = 0,05 an.)

IIIAlternativhypothese H1: Der Anteil der defekten Glühbirnen ist größer als 5%, d.h., p > 0,05. (Dies ist ein rechtsseitiger Test.)

IV**2. Testgröße und Verteilung festlegen:**

VDie Testgröße X ist die Anzahl der defekten Glühbirnen in der Stichprobe. X ist binomialverteilt mit n = 100 und unter H0 mit p = 0,05, also X ~ B(100; 0,05).

VI**3. Signifikanzniveau festlegen:**

VIIα = 0,05.

VIII**4. Ablehnungsbereich bestimmen:**

9Wir suchen den kleinsten Wert k, sodass P(X ≥ k) ≤ α unter der Annahme H0 (p=0,05).

10P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) ≤ 0,05

11P(X ≤ k-1) ≥ 1 - 0,05 = 0,95

12Verwende eine Tabelle oder einen Taschenrechner für die kumulative Binomialverteilung B(100; 0,05; k):

13P(X ≤ 8) = 0,9369

14P(X ≤ 9) = 0,9650

15Der erste Wert k-1, für den P(X ≤ k-1) ≥ 0,95 ist, ist k-1 = 9. Also ist k = 10.

16Der Ablehnungsbereich ist somit {10, 11, ..., 100}.

17**5. Entscheidung treffen:**

18In der Stichprobe wurden 9 defekte Glühbirnen gefunden. Dieser Wert (9) liegt nicht im Ablehnungsbereich {10, 11, ..., 100}.

19Da 9 < 10, wird H0 nicht verworfen.

20**6. Ergebnis interpretieren:**

21Es gibt keinen ausreichenden statistischen Beweis auf dem Signifikanzniveau von 5%, um die Behauptung des Herstellers anzuzweifeln. Die beobachteten 9 defekten Glühbirnen sind mit der Annahme, dass der Defektanteil höchstens 5% beträgt, vereinbar.

Answer

Die Behauptung des Herstellers kann auf dem Signifikanzniveau von 5% nicht angezweifelt werden, da die Anzahl der defekten Glühbirnen (9) nicht im Ablehnungsbereich liegt.

Beachten Sie, dass 'nicht verwerfen' nicht bedeutet, dass H0 wahr ist, sondern nur, dass die Stichprobe nicht genügend Evidenz gegen H0 liefert.

Example 3

Ein neues Medikament soll eine Heilungsrate von mehr als 70% haben. In einer Studie mit 50 Patienten werden 30 geheilt. Kann die Behauptung des Herstellers bei einem Signifikanzniveau von α = 0,01 widerlegt werden?

I**1. Hypothesen formulieren:**

IINullhypothese H0: Die Heilungsrate ist mindestens 70%, d.h., p ≥ 0,70. (Für den Test nehmen wir den Grenzfall p = 0,70 an.)

IIIAlternativhypothese H1: Die Heilungsrate ist kleiner als 70%, d.h., p < 0,70. (Dies ist ein linksseitiger Test.)

IV**2. Testgröße und Verteilung festlegen:**

VDie Testgröße X ist die Anzahl der geheilten Patienten in der Studie. X ist binomialverteilt mit n = 50 und unter H0 mit p = 0,70, also X ~ B(50; 0,70).

VI**3. Signifikanzniveau festlegen:**

VIIα = 0,01.

VIII**4. Ablehnungsbereich bestimmen:**

9Wir suchen den größten Wert k, sodass P(X ≤ k) ≤ α unter der Annahme H0 (p=0,70).

10Verwende eine Tabelle oder einen Taschenrechner für die kumulative Binomialverteilung B(50; 0,70; k):

11P(X ≤ 29) = 0,0056

12P(X ≤ 30) = 0,0128

13Der größte Wert k, für den P(X ≤ k) ≤ 0,01 ist, ist k = 29.

14Der Ablehnungsbereich ist somit {0, 1, ..., 29}.

15**5. Entscheidung treffen:**

16In der Studie wurden 30 Patienten geheilt. Dieser Wert (30) liegt nicht im Ablehnungsbereich {0, 1, ..., 29}.

17Da 30 > 29, wird H0 nicht verworfen.

18**6. Ergebnis interpretieren:**

19Es gibt keinen ausreichenden statistischen Beweis auf dem Signifikanzniveau von 1%, um die Behauptung des Herstellers, dass die Heilungsrate mindestens 70% beträgt, zu widerlegen. Die beobachteten 30 geheilten Patienten sind mit dieser Annahme vereinbar.

Answer

Die Behauptung des Herstellers, dass die Heilungsrate mehr als 70% beträgt, kann auf dem Signifikanzniveau von 1% nicht widerlegt werden, da die Anzahl der geheilten Patienten (30) nicht im Ablehnungsbereich liegt.

Ein linksseitiger Test prüft, ob der beobachtete Wert signifikant kleiner ist als der unter H0 angenommene Wert.

Common mistakes

✗Verwechslung von p in der Binomialverteilung mit dem Signifikanzniveau α.
✗Falsche Formulierung von H0 und H1, insbesondere bei der Richtung des Tests (links- vs. rechtsseitig).
✗Fehler bei der Bestimmung des Ablehnungsbereichs, z.B. P(X > k) statt P(X ≥ k) oder falsches k-1 bei kumulativen Wahrscheinlichkeiten.
✗Interpretation des Testergebnisses als 'H0 ist wahr' statt 'H0 kann nicht verworfen werden'.
✗Verwendung der falschen Wahrscheinlichkeit p für die Binomialverteilung bei der Bestimmung des Ablehnungsbereichs (immer p aus H0 verwenden).

Exam tips

★Lesen Sie die Aufgabenstellung genau, um zu erkennen, ob ein links- oder rechtsseitiger Test erforderlich ist.
★Formulieren Sie H0 und H1 präzise und begründen Sie Ihre Wahl des Testtyps.
★Nutzen Sie die Funktionen Ihres Taschenrechners (z.B. 'binompdf' und 'binomcdf') oder die bereitgestellten Tabellen effizient für die Berechnung von Binomialwahrscheinlichkeiten.
★Geben Sie am Ende eines Hypothesentests immer eine klare Interpretation im Kontext der Aufgabenstellung an.

Ready to practise?

Try a problem on this topic

Snap a photo or type a question — get step-by-step working instantly.

Solve a problem →← Maths curriculum