Zahl & Operationen
Zahlen und Rechnen
Klasse 1 · Klasse 2 · Klasse 3 · Klasse 4
- ✓By the end of this lesson students will be able to read and write numbers up to 1.000.000, understanding the place value of each digit.
- ✓By the end of this lesson students will be able to perform written addition and subtraction of multi-digit numbers.
- ✓By the end of this lesson students will be able to perform written multiplication and division with single-digit multipliers and divisors.
- ✓By the end of this lesson students will be able to recall multiplication facts (Einmaleins) up to 10x10 and use them for division.
Key concepts
Every digit in a number has a specific value based on its position. This is called its 'Stellenwert'. We use the following place values: Einer (E), Zehner (Z), Hunderter (H), Tausender (T), Zehntausender (ZT), Hunderttausender (HT), and Millionen (M). For example, in the number 345, the '3' stands for 3 Hunderter, the '4' for 4 Zehner, and the '5' for 5 Einer.
Written addition is a method for adding multi-digit numbers by aligning them vertically according to their place value. You start adding the digits in the Einer column, then the Zehner column, and so on. If a sum in a column is 10 or more, you 'carry over' the Zehner digit to the next column.
Written subtraction is a method for subtracting multi-digit numbers by aligning them vertically according to their place value. You start subtracting the digits in the Einer column. If a digit in the top number is smaller than the digit below it, you 'borrow' (regroup) from the next higher place value column.
Written multiplication is a method for multiplying multi-digit numbers. For Grundschule, we often focus on multiplying a multi-digit number by a single-digit number. You multiply the single-digit number by each digit of the multi-digit number, starting from the Einer, and carry over any Zehner to the next place value.
Written division is a method for dividing multi-digit numbers. For Grundschule, we often focus on dividing a multi-digit number by a single-digit number. You start dividing the largest place value digit of the dividend by the divisor, write down the quotient, and find the remainder. This remainder is then combined with the next digit of the dividend, and the process is repeated.
The 'Einmaleins' refers to the basic multiplication facts, typically from 1x1 to 10x10. Memorizing these facts is crucial for quick mental calculation and for performing written multiplication and division. Multiplication is repeated addition (e.g., 3 x 4 = 4 + 4 + 4), and division is the inverse operation of multiplication.
Key facts to remember
- 1Das Stellenwertsystem basiert auf Zehnerpotenzen: Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts daneben.
- 2Die vier Grundrechenarten sind Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (⋅) und Division (:).
- 3Addition und Multiplikation sind kommutativ (die Reihenfolge der Zahlen spielt keine Rolle: a+b = b+a, a⋅b = b⋅a).
- 4Subtraktion und Division sind die Umkehroperationen voneinander (z.B. 5+3=8, also 8-3=5; 4⋅2=8, also 8:2=4).
- 5Das Einmaleins bis 10x10 sollte auswendig gelernt werden, um schnell rechnen zu können.
- 6Beim schriftlichen Rechnen ist die genaue Ausrichtung der Ziffern nach ihrem Stellenwert entscheidend.
Worked examples
Example 1
Zerlege die Zahl 543 210 nach ihrem Stellenwert. (Decompose the number 543 210 according to its place value.)
Answer
543 210 = 5 Hunderttausender + 4 Zehntausender + 3 Tausender + 2 Hunderter + 1 Zehner + 0 Einer
Das Leerzeichen zwischen Tausendern und Hundertern hilft, große Zahlen besser zu lesen. (The space between thousands and hundreds helps to read large numbers better.)
Example 2
Berechne schriftlich: 1 234 + 5 678 (Calculate using written addition: 1 234 + 5 678)
Answer
6 912
Achte darauf, die Ziffern genau untereinander zu schreiben, um Fehler zu vermeiden. (Make sure to write the digits exactly aligned to avoid errors.)
Example 3
Berechne schriftlich: 723 - 456 (Calculate using written subtraction: 723 - 456)
Answer
267
Das 'Borgen' ist wichtig, wenn die obere Ziffer kleiner ist als die untere Ziffer. (Borrowing is important when the top digit is smaller than the bottom digit.)
Example 4
Berechne schriftlich: 345 ⋅ 6 (Calculate using written multiplication: 345 ⋅ 6)
Answer
2 070
Das Einmaleins muss gut sitzen, um diese Aufgaben schnell und fehlerfrei zu lösen. (Times tables must be well-known to solve these problems quickly and without errors.)
Example 5
Berechne schriftlich: 789 : 3 (Calculate using written division: 789 : 3)
Answer
263
Wenn am Ende ein Rest bleibt, ist das Ergebnis 'Quotient Rest Restwert'. (If there is a remainder at the end, the result is 'Quotient remainder RemainderValue'.)
Common mistakes
- ✗Fehler beim Übertrag oder Borgen im schriftlichen Rechnen.
- ✗Verwechseln der Stellenwerte beim Schreiben oder Lesen großer Zahlen (z.B. 100 000 statt 10 000).
- ✗Fehler beim Abrufen der Einmaleins-Fakten, was zu falschen Ergebnissen bei Multiplikation und Division führt.
- ✗Unsaubere Schrift oder ungenaue Ausrichtung der Ziffern, was zu Rechenfehlern führt.
- ✗Vergessen, den Rest bei der Division zu notieren oder falsch zu interpretieren.
Exam tips
- ★Übe das Einmaleins täglich, bis du alle Fakten auswendig kennst.
- ★Schreibe beim schriftlichen Rechnen sauber und ordentlich, und achte darauf, dass alle Ziffern genau untereinander stehen.
- ★Überprüfe deine Ergebnisse, indem du die Umkehroperation verwendest (z.B. bei Addition mit Subtraktion, bei Multiplikation mit Division).
- ★Lies die Aufgabenstellung genau durch, um zu verstehen, welche Rechenart gefragt ist.
Ready to practise?
Try a problem on this topic
Snap a photo or type a question — get step-by-step working instantly.