Álgebra & Funções

Trigonometria: Funções Trigonométricas e Leis dos Senos e Cossenos

1ª série EM · 2ª série EM · 3ª série EM

✓Ao final desta lição, os alunos serão capazes de definir e aplicar as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) em triângulos retângulos.
✓Ao final desta lição, os alunos serão capazes de compreender o Círculo Trigonométrico e as propriedades das funções seno, cosseno e tangente.
✓Ao final desta lição, os alunos serão capazes de resolver problemas que envolvem triângulos quaisquer utilizando a Lei dos Senos.
✓Ao final desta lição, os alunos serão capazes de resolver problemas que envolvem triângulos quaisquer utilizando a Lei dos Cossenos.
✓Ao final desta lição, os alunos serão capazes de identificar a aplicação correta das Leis dos Senos e Cossenos em diferentes contextos.

Key concepts

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Em um triângulo retângulo, as razões trigonométricas relacionam os ângulos agudos com as medidas dos seus lados. Para um ângulo agudo α, definimos:

sen(α) = cateto oposto / hipotenusa\ncos(α) = cateto adjacente / hipotenusa\ntg(α) = cateto oposto / cateto adjacente

Círculo Trigonométrico

O Círculo Trigonométrico é um círculo de raio unitário (r=1) centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Ele é fundamental para estender as definições de seno, cosseno e tangente para ângulos de qualquer medida (em graus ou radianos). O eixo horizontal representa o cosseno e o eixo vertical representa o seno. Os sinais das funções variam de acordo com o quadrante em que o ângulo se encontra.

Para um ponto P(x, y) no círculo unitário correspondente a um ângulo θ:\nx = cos(θ)\ny = sen(θ)

Função Seno

A função seno associa a cada número real x (ângulo em radianos) o valor do seno desse ângulo. É uma função periódica, com período 2π, e seu gráfico é uma senóide. O domínio é o conjunto dos números reais (ℝ) e o contradomínio é o intervalo fechado [-1, 1].

f(x) = sen(x)

Função Cosseno

A função cosseno associa a cada número real x (ângulo em radianos) o valor do cosseno desse ângulo. É uma função periódica, com período 2π, e seu gráfico é uma cossenóide. O domínio é o conjunto dos números reais (ℝ) e o contradomínio é o intervalo fechado [-1, 1].

f(x) = cos(x)

Função Tangente

A função tangente associa a cada número real x (ângulo em radianos) o valor da tangente desse ângulo. É uma função periódica, com período π. O domínio são os números reais, exceto os valores onde cos(x) = 0 (ou seja, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ). O contradomínio é o conjunto dos números reais (ℝ).

f(x) = tg(x) = sen(x) / cos(x)

Lei dos Senos

Em qualquer triângulo (não necessariamente retângulo), a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto a esse lado é constante. É útil quando conhecemos dois ângulos e um lado (AAS ou ASA) ou dois lados e um ângulo oposto a um deles (SSA – caso ambíguo).

a / sen(A) = b / sen(B) = c / sen(C)

Lei dos Cossenos

Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles. É útil quando conhecemos os três lados (SSS) ou dois lados e o ângulo entre eles (SAS).

a² = b² + c² - 2bc ⋅ cos(A)\nb² = a² + c² - 2ac ⋅ cos(B)\nc² = a² + b² - 2ab ⋅ cos(C)

Key facts to remember

1As razões trigonométricas básicas são seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tg).
2No Círculo Trigonométrico, o raio é unitário (1), e as coordenadas de um ponto P(x, y) são (cos(θ), sen(θ)).
3A relação fundamental da trigonometria é sen²(x) + cos²(x) = 1.
4Os valores de seno e cosseno variam entre -1 e 1, enquanto a tangente pode assumir qualquer valor real.
5A Lei dos Senos é usada quando se conhece um lado e dois ângulos (AAS ou ASA) ou dois lados e um ângulo oposto a um deles (SSA).
6A Lei dos Cossenos é usada quando se conhece os três lados (SSS) ou dois lados e o ângulo entre eles (SAS).
7Ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) e seus múltiplos têm valores trigonométricos que devem ser memorizados ou facilmente deduzidos.

Worked examples

Example 1

Um observador vê o topo de um prédio sob um ângulo de 30° com a horizontal. Afastando-se 20 metros do prédio, ele passa a vê-lo sob um ângulo de 15°. Qual é a altura do prédio? (Considere tg(30°) ≈ 0,577, tg(15°) ≈ 0,268, sen(15°) ≈ 0,259, sen(30°) = 0,5, sen(135°) ≈ 0,707)

IDesenhe um diagrama representando a situação. Seja 'h' a altura do prédio, 'x' a distância inicial do observador ao prédio.

IINo primeiro triângulo retângulo formado (observador mais próximo): tg(30°) = h / x => h = x ⋅ tg(30°).

IIINo segundo triângulo retângulo formado (observador mais afastado): tg(15°) = h / (x + 20) => h = (x + 20) ⋅ tg(15°).

IVIguale as duas expressões para 'h': x ⋅ tg(30°) = (x + 20) ⋅ tg(15°).

VSubstitua os valores aproximados: x ⋅ 0,577 = (x + 20) ⋅ 0,268.

VIDistribua: 0,577x = 0,268x + 5,36.

VIIReorganize para encontrar x: 0,577x - 0,268x = 5,36 => 0,309x = 5,36.

VIIICalcule x: x = 5,36 / 0,309 ≈ 17,346 metros.

9Use o valor de x para encontrar h: h = x ⋅ tg(30°) = 17,346 ⋅ 0,577 ≈ 10,00 metros.

Answer

A altura do prédio é aproximadamente 10,00 metros.

Este problema pode ser resolvido também com a Lei dos Senos em um triângulo não retângulo formado pelos dois pontos de observação e o topo do prédio, mas a abordagem com tangente é mais direta para a altura.

Example 2

Em um triângulo ABC, o lado 'a' mede 10 cm, o ângulo B mede 45° e o ângulo C mede 60°. Calcule a medida do lado 'b'. (Considere sen(45°) ≈ 0,707, sen(60°) ≈ 0,866, sen(75°) ≈ 0,966)

IPrimeiro, encontre o ângulo A. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Então, A = 180° - B - C = 180° - 45° - 60° = 75°.

IIAplique a Lei dos Senos: a / sen(A) = b / sen(B).

IIISubstitua os valores conhecidos: 10 / sen(75°) = b / sen(45°).

IVIsolando 'b': b = (10 ⋅ sen(45°)) / sen(75°).

VSubstitua os valores aproximados: b = (10 ⋅ 0,707) / 0,966.

VICalcule: b = 7,07 / 0,966 ≈ 7,319 cm.

Answer

A medida do lado 'b' é aproximadamente 7,32 cm.

A Lei dos Senos é ideal quando se conhece um lado e dois ângulos, ou dois lados e um ângulo oposto a um deles.

Example 3

Em um triângulo PQR, os lados PQ e PR medem 8 cm e 12 cm, respectivamente. O ângulo entre esses lados (∠QPR) mede 60°. Calcule a medida do lado QR.

IIdentifique os lados e o ângulo. Seja p = QR, q = PR = 12 cm, r = PQ = 8 cm. O ângulo P = 60°.

IIComo conhecemos dois lados e o ângulo entre eles (SAS), aplicamos a Lei dos Cossenos para encontrar o lado oposto ao ângulo conhecido.

IIIA fórmula é: p² = q² + r² - 2qr ⋅ cos(P).

IVSubstitua os valores: p² = 12² + 8² - 2 ⋅ 12 ⋅ 8 ⋅ cos(60°).

VCalcule os quadrados: p² = 144 + 64 - 2 ⋅ 12 ⋅ 8 ⋅ cos(60°).

VISabemos que cos(60°) = 0,5: p² = 144 + 64 - 2 ⋅ 12 ⋅ 8 ⋅ 0,5.

VIIContinue o cálculo: p² = 208 - 96.

VIIIp² = 112.

9Calcule a raiz quadrada: p = √112 = √(16 ⋅ 7) = 4√7 cm.

10Se for necessário um valor aproximado: p ≈ 4 ⋅ 2,646 ≈ 10,584 cm.

Answer

A medida do lado QR é 4√7 cm (aproximadamente 10,58 cm).

A Lei dos Cossenos é a escolha correta quando se tem dois lados e o ângulo entre eles (SAS) ou os três lados (SSS).

Common mistakes

✗Confundir cateto oposto com cateto adjacente ao aplicar as razões trigonométricas em triângulos retângulos.
✗Aplicar a Lei dos Senos ou Cossenos em situações inadequadas, por exemplo, tentando usar a Lei dos Senos quando se tem SAS (dois lados e o ângulo entre eles).
✗Esquecer que a Lei dos Senos pode ter um caso ambíguo (SSA) onde duas soluções para o triângulo são possíveis.
✗Erro de cálculo com sinais das funções trigonométricas nos diferentes quadrantes do Círculo Trigonométrico.
✗Confundir radianos com graus e não converter quando necessário, especialmente em problemas que envolvem o Círculo Trigonométrico ou funções trigonométricas.

Exam tips

★Sempre faça um desenho claro do problema. Isso ajuda a visualizar os ângulos e lados e a escolher a lei ou razão trigonométrica correta.
★Memorize os valores das razões trigonométricas para os ângulos notáveis (30°, 45°, 60°) e saiba como deduzir para seus múltiplos no Círculo Trigonométrico.
★Verifique se o triângulo é retângulo antes de aplicar as razões básicas (sen, cos, tg). Se não for, considere as Leis dos Senos ou Cossenos.
★Ao usar a Lei dos Senos, esteja atento ao caso SSA (lado-lado-ângulo) que pode gerar duas soluções para o triângulo. Verifique a validade de ambas as soluções.

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