Álgebra & Funções
Funções e Sequências Numéricas
1ª série EM · 2ª série EM · 3ª série EM
- ✓Identificar e classificar diferentes tipos de funções (afim, quadrática, exponencial e logarítmica) e sequências numéricas (PA e PG).
- ✓Aplicar as propriedades e fórmulas das funções e sequências para resolver problemas em diversos contextos.
- ✓Construir e interpretar gráficos de funções afins, quadráticas, exponenciais e logarítmicas.
- ✓Resolver equações e inequações envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.
- ✓Calcular termos e somas de Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas, incluindo a soma de PGs infinitas convergentes.
Key concepts
Uma função afim é uma função do tipo f(x) = ax + b, onde 'a' e 'b' são números reais e 'a' é diferente de zero. O gráfico de uma função afim é uma reta. O coeficiente 'a' é chamado de coeficiente angular e indica a inclinação da reta. O coeficiente 'b' é chamado de coeficiente linear e indica o ponto onde a reta intercepta o eixo y.
Uma função quadrática é uma função do tipo f(x) = ax² + bx + c, onde 'a', 'b' e 'c' são números reais e 'a' é diferente de zero. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. A concavidade da parábola é para cima se a > 0 e para baixo se a < 0. As raízes da função são os valores de x para os quais f(x) = 0, e podem ser encontradas pela Fórmula de Bhaskara. O vértice da parábola é o ponto de máximo ou mínimo da função.
Uma função exponencial é uma função do tipo f(x) = a^x, onde 'a' é um número real positivo e diferente de 1. A variável x aparece no expoente. Se a > 1, a função é crescente. Se 0 < a < 1, a função é decrescente. O gráfico de toda função exponencial passa pelo ponto (0,1).
Uma função logarítmica é a função inversa da função exponencial. Ela é definida como f(x) = log_a(x), onde 'a' é a base (a > 0 e a ≠ 1) e x é o logaritmando (x > 0). A relação fundamental entre logaritmos e exponenciais é: log_a(x) = y se, e somente se, a^y = x. Se a > 1, a função é crescente. Se 0 < a < 1, a função é decrescente. O gráfico de toda função logarítmica passa pelo ponto (1,0).
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante ao termo anterior. Essa constante é chamada de razão (r) da PA. Se r > 0, a PA é crescente. Se r < 0, a PA é decrescente. Se r = 0, a PA é constante.
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constante. Essa constante é chamada de razão (q) da PG. A PG pode ser crescente, decrescente, constante ou alternada, dependendo do valor de q e do sinal de a1. Uma PG infinita converge se |q| < 1.
Key facts to remember
- 1Função Afim: f(x) = ax + b. 'a' é a inclinação, 'b' é o intercepto y.
- 2Função Quadrática: f(x) = ax² + bx + c. 'a' define a concavidade da parábola.
- 3Raízes da Função Quadrática: x = (-b ± √Δ) / 2a, onde Δ = b² - 4ac.
- 4Vértice da Parábola: Vx = -b / 2a, Vy = -Δ / 4a.
- 5Função Exponencial: f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1). Crescente se a > 1, decrescente se 0 < a < 1.
- 6Função Logarítmica: f(x) = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1, x > 0). Inversa da exponencial.
- 7PA: an = a1 + (n-1)r. Sn = (n * (a1 + an)) / 2.
- 8PG: an = a1 * q^(n-1). Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1) (q ≠ 1). S∞ = a1 / (1 - q) (|q| < 1).
Worked examples
Example 1
Dada a função quadrática f(x) = x² - 6x + 8, determine as raízes e as coordenadas do vértice da parábola.
Answer
As raízes da função são x = 2 e x = 4. As coordenadas do vértice da parábola são (3, -1).
Lembre-se que o vértice representa o ponto de mínimo da parábola, pois o coeficiente 'a' é positivo (a = 1 > 0).
Example 2
Resolva a equação logarítmica: log_3(x + 2) + log_3(x - 6) = 2.
Answer
A solução da equação é x = 7.
Sempre verifique as condições de existência do logaritmo para garantir que as soluções encontradas são válidas.
Example 3
Em uma Progressão Aritmética (PA), o primeiro termo é 5 e a razão é 3. Calcule o 15º termo e a soma dos 15 primeiros termos.
Answer
O 15º termo da PA é 47 e a soma dos 15 primeiros termos é 390.
Common mistakes
- ✗Confundir o sinal do coeficiente 'a' na função quadrática com a concavidade da parábola (a > 0, concavidade para cima; a < 0, concavidade para baixo).
- ✗Esquecer as condições de existência para funções logarítmicas (base > 0 e ≠ 1, logaritmando > 0).
- ✗Aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita quando a razão 'q' não satisfaz a condição |q| < 1.
- ✗Erro de cálculo na Fórmula de Bhaskara, especialmente com o sinal do 'b' ou do 'Δ'.
- ✗Confundir as fórmulas do termo geral e da soma de PA com as de PG.
Exam tips
- ★Sempre comece identificando o tipo de função ou sequência para aplicar as fórmulas corretas.
- ★Ao resolver equações logarítmicas, anote as condições de existência dos logaritmos no início e verifique as soluções no final.
- ★Para funções quadráticas, esboçar o gráfico pode ajudar a visualizar as raízes e o vértice, e verificar a concavidade.
- ★Organize seus cálculos passo a passo, especialmente em problemas com muitas etapas, para evitar erros e facilitar a revisão.
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